÷ƒ’À;è TeX output 1997.10.30:0949‹ÿÿÿÿ¥Šn ýu‘ì¡ þ$Öi ÿt»ƒ‘X°óÐe9Vff phvb7tÃMINIMIZING–ÈSENSITIVITY“OF“BLADED“DISKS“T‘ÿl”O“MISTUNINGŽŸ€Ÿ G’„7xó#Ðe9V phvb7tÎJoseph–UüC.“Slater“ó$‚ÎR6 cmss12Ïand“ÎAndreÑów“J“.“BlairŽŽ¤¡’€…†ó»ló phvr7tÀDepar\#tment–€}of“Mechanical“and“Materš"‰ials“Engineer˜ingŽŽ¡’½)¦Wr"‰ight–€}State“UnivÆfersityŽŽ¡’¼ƒColonel–€}Glenn“HighwÝvaºåyŽŽ¡’žwDaºåyton,–€}OH“45435ŽŽŽŽŽŽ Û)— þ@Öi‘íî¹óñkAH cmssbx10¼ABSTRA¹™CTŽŸG‘íî¹ÀHigh–,úcycle“fºåatigue“due“to“vibršèöation“contin˜ues“to“be“a“leadingޤ ‘íî¹cause–µ_of“bÑîlade“fšºåailure“in“turbomachinerEy‘ÿ™.‘·-Designing“f˜or“theŽ¡‘íî¹allešºåviation–ÐSof“high“cycle“f˜atigue“is“one“of“the“most“comple˜xŽ¡‘íî¹probÑîlems–ù¹fšºåacing“engineersÝv.‘„=The“comple˜xity“of“the“probÑîlemŽ¡‘íî¹has–“•givÆfen“r"‰ise“to“manšÝvy“design“propositions“and“man˜y“tech-Ž¡‘íî¹niques–Wfšºåor“e˜vÆfaluating“their“merš"‰it.‘ãIn“this“wèöor˜k,‘?Žthe“Finite“Ele-Ž¡‘íî¹ment–7ïMethod“is“used“to“analyzÝve“minor“hub“design“modi ca-Ž¡‘íî¹tions–lintended“to“minimizÝve“the“propensity“fºåor“mode“localizationŽ¡‘íî¹in–€}turbomachinerEy“bÑîladesÝv,“thus“allešºåviating“high“cycle“f˜atigueÝv.Ž©#Œõ‘íî¹¼NOMENCLA‘ÿ,ÌTUREŽŸ]ÏGŸ¸s1‘óîºó%o´‹Ç cmr9Ð[ó(t ‰: cmbx9ÓMÐ]Ž‘JqÀmass‘€}matr"‰ixŽŽ¡‘óîºó'©±Ê cmsy9ÒfÓÒgŽ‘JqÀnor9™malizÝved–€}mode“shapesŽŽ¡¡‘óîºó&5ùž" cmmi9ÑEŽ‘JqÀY‘þ½voung'ŒÌs‘€}modulusŽŽ¡‘óîºÑMŽ‘JqÀmass‘€}matr"‰ixŽŽ¡‘óîºÑRŽ‘JqÀstress‘€}rèöatioŽŽ¡‘óîºÑV‘8MŽ‘JqÀV‘ÿG²on–€}Mises“stressŽŽ¡¡‘óîºÑŽ‘JqÀP•ŒÌoisson'“s‘€}RatioŽŽ¡‘óîºÑŽ‘JqÀdensityŽŽ¡¡‘óîºÑiŽ‘JqÀmode–€}shape“#ŽŽ¡‘óîºÑmŽ‘JqÀmistuned‘€}caseŽŽ¡‘óîºÑtŽ‘JqÀtuned‘€}caseŽŽŽŽŽŸKÀ¦‘íî¹¼1Ž‘üÈXINVESTIGA‘ÿ,ÌTIONŽŸG‘íî¹ÀIn–À®bšÑîladed“disk“assemb˜liesÝv,‘кthe“disk“acts“as“a“coupling“deºåviceŽ¡‘íî¹betwèöeen–¨þthe“bÑîladesšÝv.‘’ As“the“sti ness“of“the“disk“increases˜,Ž¡‘íî¹bÑîlade–nÄcoupling“decreasesšÝv.‘ã\It“has“been“sho˜wn“that“wèöeak“in-Ž¡‘íî¹terbÑîlade–_åcoupling“leads“to“high“leºåvÆfels“of“mode“localizationŽ¡‘íî¹when–ØbÑîlades“are“mistunedŸü-=ó¹Aa¨cmr6Ç[1ó"q¡% cmsy6ÍŽ‘ÇÇ6]Ž‘ÕGÀ.‘FMode“localization“also“oc-Ž¡‘íî¹curs–ÆYin“bÑîladed“disks“as“a“result“of“their“symmetrEy‘ÿ™.‘êSets“ofŽ¡‘íî¹axisymmetr"‰ic–ÝOmodes“combine“to“fºåor9™m“a“basis“set“from“whichŽŽŽ þw6åŸÉ˜ø’0Ÿölò‰ff{·²Ÿ“°„“°ffŸúÿ^‘There–€}once“wÝvas“a“ gure“hereŽŽ‘zêæ„“°ffŽžff‰ff{·²ŽŽŽŽŸ*§’,$A¼Figure–LÎ1:‘fhFinite“element“moFfdel.ŽŽŸ’óéIÀdršèöastically–òÑlocalizÝved“mode“shapes“can“be“gener˜ated.‘o…Bladedޤ ’óéIdisk–h/assembÑîlies“are“trèöaditionally“designed“to“be“symmetr"‰ic“fºåorŽ¡’óéIthe–BØsakÑîe“of“balanceÝv.‘_šThis“leads“to“twèöo“hºåypotheses“to“be“in-Ž¡’óéIvÆfestigated–}½in“this“wèöor"‰k:‘(1)“Decreasing“the“sti ness“of“the“diskŽ¡’óéIbÑîy–»"vÆfaršEying“the“geometr˜y“and/or“mater"‰ial“composition“maºåy“re-Ž¡’óéIduce–ÈÎmode“localization“due“to“mistuning,‘â2)“Destroºåying“theŽ¡’óéIsymmetrEy–±Üof“the“disk,›þ4yÑîet“maintaining“balanceÝv,˜maºåy“reduceŽ¡’óéImode–¥„localization“due“to“mistuning“(The“idea“here“being“toŽ¡’óéIsplit– ¶repeated“modes“such“that“thešÑîy“ha˜vÆfe“unique“naturèöal“fre-Ž¡’óéIquencies).‘1:Each–ˆ¸of“these“wÝvas“inÑîvÆfestigated“separšèöately‘ÿ™,‘ŠÇas“w˜ellŽ¡’óéIas–€}combinations“of“the“twèöo£Ü.Ž©Œõ’óéIA‘Âçmodel–Ã:of“an“eight“bÑîladed“disk“based“on“an“eºåxper"‰imentalŽ¡’óéItestbed–nat“Wrš"‰ight“State“UnivÆfersity“wÝvas“constr˜ucted“in“AN-Ž¡’óéISYS‘Í´žºŽó+r—º phvrc7tÖrŽŽŽÒ ŽŽŽ‘ bhÀusing–"leight“noded“\br"‰icÑîk"“elements“(Figure“(sorrEy‘ÿ™,‘Jèit'ŒÌsŽ¡’óéInot–ESin“this“doc)).‘ÏThe“model“wÝvas“designed“to“eºåxhibit“a“propen-Ž¡’óéIsity–[Kfºåor“mode“localization“similar“to“that“of“turbomachinerEyŽ¡’óéIbšÑîladed–§õdisk“assemb˜liesÝv.‘ ŽñThe“b˜laded“disk“model“wÝvas“ad-Ž¡’óéIjusted–¹±to“proÝvvide“wšèöeak“coupling“betw˜een“the“bÑîlades“resultingŽ¡’óéIin–hŠtightly“pac•Ñîk“ed–hŠsets“of“naturèöal“frequenciesÝv,‘¢eight“modes“inŽ¡’óéIeach.‘wCThe–õfbÑîlade“defºåor9™mation“in“the“ rst“set“of“modes“is“pre-Ž¡’óéIdominately–Sa“ rst“beam“bending“modeÝv,‘‡¨in“the“second“set“ofŽ¡’óéImodes–¯Åit“is“predominately“a“ rst“beam“torsional“modeÝv,‘û—andŽ¡’óéIin–Mxthe“third“set“of“modes“it“is“predominately“a“second“beamŽ¡’óéIbending‘€}modeÝv.ަ’óéIThree–²Ðtypes“of“mistuning“wèöere“chosen“fºåor“the“inÑîvÆfestigation.Ž¡’óéIThe–D rst“twšèöo“w˜ere:‘Fone“percent“of“the“mass“of“one“bÑîladeŽ¡’óéIadded–Z¾to“the“tip“of“one“bšÑîladeÝv,‘bJand“one“percent“b˜lade“mass“re-Ž¡’óéImošÝvvÆfed–^Cfrom“the“tip“of“a“single“bÑîlade˜.‘ This“results“in“twèöo“casesŽ¡’óéIof–ÚÀmistuning“fšºåor“the“symmetr"‰ic“modelsÝv.‘'QF˜or“non-symmetr"‰icŽ¡’óéImodels•Ýv,›·Âho“wèöeºåvÆferŒÌ,˜each–ytype“(addition“and“subtršèöaction)“m˜ustŽ¡’óéIbe–,÷inÑîvÆfestigated“on“each“of“fšºåour“di ˜erent“bÑîladesÝv.‘ü±This“results“inŽŽŽŽŽŽŽŒ‹*¥Šn ýu‘ì¡ ý‘ì‘íî¹Àeight–‡Þdi šºåerent“cases“of“mistuning“f˜or“the“non-symmetr"‰ic“mod-ޤ ‘íî¹elsšÝv.‘î¨The–Þpreceding“models˜,‘þrepresenting“minor“damage“casesŽ¡‘íî¹to–7·an“individual“bšÑîlade“or“all“b˜ut“one“b˜ladeÝv,‘e…are“in“agèöreementŽ¡‘íî¹with–Gèaccepted“prèöactice“in“pr"‰ior“studiesŸü-=Ç[1ó;Îcmmi6Ê;‘GÇ2]Ž‘œdÀ.‘nÉThe“ nal“type“ofŽ¡‘íî¹mistuning–_›cases“is“ršèöandom“mistuning.‘ ’Three“r˜andom“patter9™nsŽ¡‘íî¹wèöere–Rchosen“such“that“the“mass“added“to“the“tip“of“each“bÑîladeŽ¡‘íî¹vÆfar"‰ied–betwšèöeen“plus“or“min˜us“one“percent“of“the“mass“of“oneŽ¡‘íî¹bÑîladeÝv.Ž©#Œõ‘íî¹¼1.1Ž‘{ŽMoFfdelsŽŸG‘íî¹ÀAll– £models“used“in“this“study“wèöere“vÆfar"‰iations“of“the“symmet-Ž¡‘íî¹r"‰icÝv,‘ constant–ñpsti ness“system“refºåerred“to“as“the“baseline“modelŽ¡‘íî¹(Figure–,1).‘ß•The“dimensions“of“the“disk“are“as“fºåolloÝvws:‘GæOD‘=Ž¡‘íî¹188–¼¨mm,›˲ID‘¼˜=“87.5“mm,˜and“thicÑîkness“=“14“mm.‘ÍThe“dimen-Ž¡‘íî¹sions–ÆÐof“each“bÑîlade“are:‘¥-length“=“62“mm,‘dwidth“=“32“mm,Ž¡‘íî¹and–„-thicÑîkness“=“1.5“mm.‘#˜This“model“wÝvas“constr"‰ucted“entirelyŽ¡‘íî¹of–$eight“noded“br"‰icÑîk“elements“(ANSYS‘Í´žºŽÖrŽŽŽÒ ŽŽŽ‘ cüÀelement|“Solid“45),Ž¡‘íî¹haÑîving–#€three“degèörees“of“freedom“per“nodeÝv.‘ù‰The“mater"‰ial“prop-Ž¡‘íî¹er\#ties–Œ·used“wèöere“that“of“mild“steel:‘0ýY‘þ½voung'ŒÌs“Modulus“ÑE‘*Ð=‘¦Î200Ž¡‘íî¹ÀGP£Üa,›|™density‘J-Ñ–ì©Ð=“7800‘€}Àkg/mŽ‘5ŸûÖÖÇ3Ž‘+ÜÀ,˜and›J-P•ŒÌoisson'“s˜Ratio˜Ñ‘Ð=‘ì©0Ñ:Ð3À.Ž¡‘íî¹Lines–ÑÍwšèöere“also“included“in“the“geometrEy“that“alloÝvw˜ed“mesh-Ž¡‘íî¹ing–tlto“be“perfºåor9™med“in“ANSYS‘Í´žºŽÖrŽŽŽÒ ŽŽŽ‘ ?üÀ.‘‚A‘tiproper“mesh“in“this“studyŽ¡‘íî¹had–€}twèöo“imporš\#tant“proper˜tiesÝv.‘ˆY‘þ½vada“yÑîada.ަ‘íî¹¼1.2Ž‘{ŽMistuningŽŸG‘íî¹ÀThree–RÓbasic“types“of“mistuning“wèöere“chosen“to“best“representŽ¡‘íî¹realistic–vªchallenges“to“the“robšÑîustness“of“a“b˜laded“disk“design.Ž¡‘íî¹The–H rst“twšèöo“w˜ere“addition“and“subtr˜action“of“mass“to“a“singleŽ¡‘íî¹bÑîladeÝv.‘îJThese–Áwèöere“chosen“to“represent“fºåoreign“object“damageŽ¡‘íî¹(FOD)‘ što– ·either“a“single“bšÑîlade“(subtrèöaction)“or“all“b˜ut“one“b˜ladeŽ¡‘íî¹(addition).‘eThe–A nal“type“of“mistuning“chosen“wÝvas“the“rèöandomŽ¡‘íî¹addition–and“subtrèöaction“of“mass“from“each“bÑîladeÝv,‘#»represen-Ž¡‘íî¹tativšÆfe–¥of“the“small“v˜ar"‰iance“betwšèöeen“bÑîlades“due“to“man˜ufºåac-Ž¡‘íî¹tur•"‰ing›€}vÆfar“iations˜or˜more˜distr“ibÑîuted˜wèöear/damageÝv.ޤŒõ‘íî¹Y‘þ½vada‘€}yÑîada.Ž¡‘íî¹Three–™ršèöandom“patter9™ns“of“mistuning“w˜ere“also“inÑîvÆfestigated.ޤ ‘íî¹As–¦Cmentioned“befºåoreÝv,‘¯´the“addition“of“one“percent“bÑîlade“massŽ¡‘íî¹to–Áeach“bÑîlade“wšÝvas“chosen“as“the“tuned,‘ Ñor“nominal“case˜.‘™SInŽ¡‘íî¹deterš9™mining–û˜the“rèöandom“patter˜ns“to“be“used,‘^the“mass“to“beŽ¡‘íî¹added–€&to“anšÝvy“location“w˜as“allo˜wèöed“to“vÆfarEy“from“z˜ero“to“twèöoŽ¡‘íî¹percent–<`of“a“single“bÑîlade“massšÝv.‘ÔThe“patter9™ns“generèöated“fºåollo˜wŽ¡‘íî¹in–/T‘þëˆabšÑîle“1“and“the“b˜lade“nèöumber"‰ing“scheme“is“shoÝvwn“in“FigureŽ¡‘íî¹(not–€}in“sample).ަ‘íî¹¼A•¹™CKNO“WLEDGEMENTSŽŸG‘íî¹ÀThanks–€}to“all“those“who'vÆfe“bÑîuilt“LaT‘þëˆeX“into“what“it“is“todaºåy‘ÿ™.ŽŽŽ þ*üƒŸ‰Šµ’úÕ<ŸÁq‰ffæb©³1ÌÍŸLÏ„ ff‘EK„ ffŽ‘K„±Random‘€}1‘ÌÍŸLÏ„ ffŽ’ìRandom‘€}2‘ÌÍŸLÏ„ ffŽ’¶'Random‘€}3‘ÌÍŸLÏ„ ffŽŽ¤³5‘E„±„ff Œ±ŽŽŸ„0ÌÍŸLÏ„7eff‘ÌÍŸóI9Blade‘€}NumberŽŽ‘EK„7effŽ‘OìÑÐ10Ÿü-=ÍÇ3Ž‘ r=ÀKg‘ 4íŸLÏ„7effŽ’…q Ð10Ÿü-=ÍÇ3Ž‘ r=ÀKg‘ 4íŸLÏ„7effŽ’ºõGÐ10Ÿü-=ÍÇ3Ž‘ r=ÀKg‘ 4íŸLÏ„7effŽŽ¡‰ffæbŸ‰ffæb¦ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³11“¡„ ffŽ‘R„ 0.0168‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.3343‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.3413‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¤ ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³12“¡„ ffŽ‘R„ 0.0260‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.2867‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.4431‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¡ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³13“¡„ ffŽ‘R„ 0.2579‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.4529‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.3710‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¡ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³14“¡„ ffŽ‘R„ 0.3267‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.4119‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.1278‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¡ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³15“¡„ ffŽ‘R„ 0.0037‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.2565‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.0231‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¡ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³16“¡„ ffŽ‘R„ 0.1866‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.0448‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.3583‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¡ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³17“¡„ ffŽ‘R„ 0.0325‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.3183‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.1598‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽ¡ÌͤLÏ„ ff– ¥Ÿü³18“¡„ ffŽ‘R„ 0.2032‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’ˆF0.2025‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽ’½Œ0.3080‘ Ì'ŸLÏ„ ffŽŽŸ³5‰ffæbŽŽŽŸ_µK’†"¼T‘ÿ,ÌABLE–LÎ1:‘fhRandom“mistuning“patterns“used“in“theŽŸ ’R˜$investigation.ŽŽŸ’óéIREFERENCESŽŸŒõ’óéIÀ[1]ŽŽ’ëEó,Ðe9V phvb7t×Pierre ,›FC.–€Àand“×Mur.thÑîy‘ÿG²,˜Dºå.“V‘þëˆ.À,˜ó-»ló phvro7tØAeroelastic“Modal“Charèöac-ޤ ’ëEter"‰istics–—of“Mistuned“Blade“AssembÑîlies:‘ÙMode“LocalizationŽ¡’ëEand–C¤Loss“of“Eigenstr"‰uctureÀ,–OÐAIAA‘C•Jour9™nal,“V‘ÿG²ol.›C¤30,“No£Ü.˜10,Ž¡’ëEpp¯].–€}2483{2496,“October“1992.Ž©’óéI[2]ŽŽ’ëE×Pierre ,–ÈüC.,“Smith,“T›ÿG².–‡IE.“Àand“×Mur.thÑîy˜,›ÈüDºå.“V‘þëˆ.À,˜ØLocalizationŽ¡’ëEof–QÉAeroelastic“Modes“in“Mistuned“High-Energy“T‘þëˆurbinesÀ,Ž¡’ëEJour9™nal–¦of“Propulsion“and“P•ŒÌoÝvwèöer“,–¯gV‘ÿG²ol.›¦10,“No£Ü.˜3,“pp¯].˜318{Ž¡’ëE328,–€}Maºåy-JÑîune“1994.ަ’óéI[3]ŽŽ’ëE×W¯]ei.,› ©S.–ï´T‘ÿG².“Àand“×Pierre ,˜C.À,˜ØLocalization“Phenomena“in“Mis-Ž¡’ëEtuned–-MAssembÑîlies“with“Cyclic“SymmetrEy“P£Üar\#t“1:‘r(F˜Tree“Vi-Ž¡’ëEbršèöationsÀ,‘qZJour9™nal–m‘of“Vibr˜ation,–qZAcousticsšÝv,“Stress˜,“and‘m‘Reli-Ž¡’ëEability–€}in“Design,“V‘ÿG²ol.“110,“pp¯].“429{438,“October“1988.ަ’óéI[4]ŽŽ’ëE×Ewins,–9Dºå.›­ÅJÑî.À,“ØVibr•èöation˜Char“acter"‰istics˜of˜Bladed˜DiskŽ¡’ëEAssembÑîliesÀ,‘)wJour9™nal–«of“Mechanical“Engineer"‰ing“ScienceÝv,Ž¡’ëEV‘ÿG²ol.–€}15,“No£Ü.“3,“pp¯].“165{186,“1973.ަ’óéI[5]ŽŽ’ëE×Grin,–å¤JÑî.›ž6H.À,“ØOn˜Predicting˜the˜Resonant˜Response˜ofŽ¡’ëEBladed–?Disk“AssembÑîliesÀ,‘o@Jour9™nal“of“Engineer"‰ing“fºåor“GasŽ¡’ëET‘þëˆurbines–€}and“P•ŒÌoÝvwèöer“,–€}V‘ÿG²ol.“110,“pp¯].“45{50,“JÑîan“1988.ަ’óéI[6]ŽŽ’ëE×Kaza,›‡„K.–RéR.“V‘þëˆ.“Àand“×Kielb,˜R.“E.À,˜ØE ºåects“of“Mistuning“onŽ¡’ëEBending-T‘þëˆorsion–!Flutter“and“Response“of“a“Mistuned“Cas-Ž¡’ëEcade–$]in“IncompressibÑîle“FloÝvwÀ,–6ÊAIAA‘$EJour9™nal,“V‘ÿG²ol.›$]20,“No£Ü.˜8,Ž¡’ëEpp¯].–€}1120{1127,“Aºåugust“1982.ŽŽŽŽŽŽŒøTƒ’À;èŠnçÒó-»ló phvro7tó,Ðe9V phvb7tó+r—º phvrc7tó(t ‰: cmbx9ó'©±Ê cmsy9ó&5ùž" cmmi9ó%o´‹Ç cmr9ó$‚ÎR6 cmss12ó#Ðe9V phvb7tó"q¡% cmsy6ó;Îcmmi6ó¹Aa¨cmr6óÐe9Vff phvb7tó»ló phvr7tóñkAH cmssbx10ù.Ïßßßßß