÷ƒ’À;è TeX output 1996.03.25:2220‹ÿÿÿÿ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘<áó<ÂÖN ff cmbx12çDesigning–ffdigital“optical“computing“systems:‘32ps3o•ŒÌw“er‘ffdistributionŽŸÊ<’¸³¤and–ffcross“talkŽŸ#ÿ[‘|ˆó0X«Q cmr12ÛJonathan–ê¨P›ÿV.“Pratt“and“Vincen¬rt“P˜.“HeuringŽŸe¿ ôó*ý': ó3 cmti10ÕWhen–êêthis“work“was“p–ÿp¹erforme“d,›êêb“oth˜the˜authors˜wer“e˜with˜the˜Boulder˜Opto“ele“ctr“onic˜ComputingŽ¤ÿ[Systems–ØwCenter“and“Dep›ÿp¹artment“of“Ele˜ctric˜al“and“Computer“Engine˜ering,‘Ü(University“of“Color˜ado,Ž¡‘ÁùCampus–êêBox“425,“Boulder,“Color›ÿp¹ado“80309-0425.‘ vThey“ar˜e“now“with“the“Dep˜artment“ofŽ¡‘ÿdR–ÿp¹adiolo“gy,–êêUniversity“of“Color›ÿp¹ado“He˜alth“Scienc˜es“Center,“Box“A034,“4200“East“Ninth“A¸\venue,Ž¡’®QãDenver,–êêColor‘ÿp¹ado“80262.ŽŸMÊ<’Ï"nó9X«Q ff cmr12äAbstractŽŸ$ÿ[‘$;âó'Kñ`y ó3 cmr10ÒComplex–$ùoptical“computer“designs“mš²!ust“implicitly“or“explicitly“allo˜w“for“pMÞo˜w˜er“bud-Ž¡‘!égeting,‘_õto–:ÙcompšMÞensate“for“cross“talk“and“loss“in“b˜oth“devices“and“in²!terconnections.Ž¡‘!éW‘ÿee–éÏdevš²!elop“algorithms“for“calculating“the“system“cross“talk“and“pMÞo˜w˜er“loss“in“opti-Ž¡‘!écal–»ßsystems,‘Á>using“a“graph-theoretic“mošMÞdel.‘IDevices“are“mo˜deled“as“directed“graphsŽ¡‘!éwith–…noMÞdes“represenš²!ting“inputs“and“outputs,‘ŸKand“edges“are“w˜eigh˜ted“with“the“pMÞo˜w˜erŽ¡‘!érelationships›YYbMÞet•²!w“een˜no•MÞdes.‘Ä.Systems˜are˜mo“deled˜b•²!y˜in“terconnecting˜the˜individualŽ¡‘!édevice–Bgraphs“in“a“manner“that“re ects“the“connectivit²!y“of“the“system.‘*pA‘%system'sŽ¡‘!épMÞo•²!w“er–>budget“is“ecienš²!tly“computed“b˜y“a“depth- rst“searc˜h“of“its“graph.‘˜eThe“al-Ž¡‘!égorithms›yha•²!v“e˜b•MÞeen˜incorp“orated˜in²!to˜an˜optical˜computer-aided˜design˜system˜thatŽ¡‘!éis–#¦noš²!w“bMÞeing“used“to“design“a“bit-serial“optical“computer“con˜taining“h˜undreds“ofŽ¡‘!écompMÞonen²!ts.Ž¡‘2¶ÝKey–Ý”w²!ords:‘L:Optical“computing,›ë`optical“systems,˜optical“comm•²!unications,˜pMÞo“w“erŽ¡‘!éloss,–¦fcross“talk,“graphs.ŽŸ!ÿ[’•F8ž«‚cŽŽŽ’’;Œó)!",š ó3 cmsy10Ô ŽŽŽ’ Õ'ÒOptical–¦fSoMÞciet²!y“of“America,“1992.ŽŽŸ’çÛ1ŽŽŒ‹* ¯î™ ý7g ªî™ ýxgó,ò"V ó3 cmbx10×1.Ž‘–“In¦ttroY‹ductionŽ©&9NÛW‘ÿVe–¬describSŽe“a“tec¬rhnique“that“facilitates“the“design“of“digital“optical“computers“and“otherŽ¤ÿ[complex–9aoptical“circuitry‘ÿV,‘\Õsucš¬rh“as“optical“comm˜unications“systems.‘ýÈAlthough“there“has“bSŽeenŽ¡some–fÁdiscussion“in“the“literature“of“pSŽo•¬rw“er–fÁbudgeting“in“optical“systems,Ÿû¥2ó|{Ycmr8À1ó×2cmmi8Á;À2Ž‘Ã=Ûthe“treatmen¬rt“hasŽ¡bSŽeen–Ùulimited“to“relativš¬rely“uncomplicated“applications,‘in“whic˜h“heuristics“and“simple“analysisŽ¡are–cnsucienš¬rt“to“estimate“pSŽo˜w˜er“loss“and“cross“talk“of“the“system“from“the“loss“and“cross“talkŽ¡of–Úçindividual“compSŽonenš¬rts.‘ÞJThe“primary“motiv‘ÿXäation“for“this“researc˜h“is“to“implemen˜t“a“stored-Ž¡program–@…bit-serial“optical“computer,Ÿû¥2À3Á;À4Ž‘Ûconš¬rtaining“h˜undreds“of“compSŽonen˜ts,‘Uüin˜terconnectedŽ¡in–;Œquite“complex“fashion.‘+ŒIn“sucš¬rh“a“system,‘OÅsimple“heuristics“for“pSŽo˜w˜er“loss“and“cross“talkŽ¡estimation–æfsuc¬rh“as“are“describšSŽed“in“Refs.“1“and“2“are“inadequate“b˜ecause“a“giv¬ren“opticalŽ¡signal–)Ämighš¬rt“tak˜e“an˜y“one“of“a“m˜ultitude“of“paths“bšSŽefore“b˜eing“detected“and“th¬rus“doingŽ¡useful–YÑwš¬rork.‘˜The“methoSŽds“dev˜elopSŽed“here“are“applicable“to“a“wide“v‘ÿXäariet˜y“of“optical“systemsŽ¡bSŽesides–˜%optical“computing“systems,‘…sucš¬rh“as“optical“comm˜unications“systems“and“opticalŽ¡signal‘ê¨proSŽcessors.Ž¡‘ŸôIn–ݧa“previous“papSŽerŸû¥2À5Ž‘«Ûwš¬re“discussed“the“use“of“a“graph-theoretic“tec˜hnique“for“sync˜hronizingŽ¡optical–J systems“that“rely“on“time“of“ ighš¬rt“rather“than“latc˜hing“or“gating“for“sync˜hronization.Ž¡In–H[this“papšSŽer“w¬re“extend“these“graph-theoretic“metho˜ds“to“the“estimation“of“cross“talk“andŽ¡loss–ê¨in“optical“systems.ŽŸ.€×2.Ž‘dP•¦to“w“er–2Loss“and“Cross“T‘þó\alk“in“the“SystemŽ¦A.Ž‘iÆIn¦ttroY‹ductionŽ¦ÛAppropriate–ÿÞsignal“levš¬rels“m˜ust“bSŽe“main˜tained“in“an˜y“digital“optical“system“that“uses“signalŽ¡levš¬rel–æthresholds“to“encoSŽde“transmitted“information.‘7‡Usually“a“high-lev˜el“signal“represen˜ts“aŽ¡logic–jþ1“and“a“lo•¬rw-lev“el–jþsignal“represenš¬rts“a“logic“0.‘RIn“these“systems“the“device“c˜haracteristicsŽ¡of–ŒžimpšSŽortance“are“p˜o•¬rw“er–Œžloss“and“cross“talk.‘‡P•¬ro“w“er–Œžloss“quanš¬rti es“the“atten˜uation“of“opticalŽ¡pšSŽo•¬rw“er–)ˆin“devices.‘õCross“talk“represen¬rts“the“addition“of“extraneous“optical“p˜o•¬rw“er–)ˆto“signalsŽŽŸ’ç2ŽŽŒ‹¨ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛtransmitted–ê¨b¬ry“these“devices.‘8à.–õT.“.Ž¤ÿ[‘Ÿô.–õT.“.“W‘ÿVe–šæpresen¬rt“a“graph-theoretic“device“mošSŽdel“that“p˜ermits“ecien¬rt“and“complete“p˜o•¬rw“erŽ¡analysis–SRof“optical“systems.‘ rÞBy“tracš¬rking“certain“pSŽo˜w˜er{related“quan˜tities,‘­|w˜e“can“deter-Ž¡mine–&|the“w¬rorst{case“opšSŽerating“conditions“of“a“system,‘5qand“optimal“logic“thresholds“can“b˜eŽ¡computed.Ž¡‘ŸôThe–BÒfolloš¬rwing“discussion“assumes“either“that“loss“and“cross“talk“are“indepSŽenden˜t“of“w˜a˜v˜e-Ž¡length–ê¨or“that“linewidths“are“small“enough“to“pSŽermit“these“v‘ÿXäariations.ŽŸ.€×B.Ž‘§,P•¦to“w“er›2Lev“els˜and˜Correct˜Device˜OpY‹erationŽŸ&9NÛHere–V¤wš¬re“discuss“the“t˜ypšSŽe“of“p˜o•¬rw“er–V¤information“desired“from“a“system“mo˜del.‘ |ÕSince“theŽ¡ob‘§jectivš¬re–*±is“to“ nd“w˜eak“pSŽoin˜ts“in“the“system“pSŽo˜w˜er“ o˜w,‘:³only“pSŽo˜w˜er“extremes“are“consid-Ž¡ered.‘£OP•¬ro“w“er–"extremes“are“the“cross“talk“and“signal“levš¬rels“obtained“when“the“w˜orst“pSŽossibleŽ¡comš¬rbinations–G¸of“device“states“and“input“pSŽo˜w˜er“lev˜els“are“assumed.‘ PThe“pSŽo˜w˜er“extremesŽ¡at–`€detection“pSŽoinš¬rts“are“of“particular“in˜terest,‘}õbšSŽecause“these“are“the“lo˜cations“where“designŽ¡ aš¬rws–¨Mare“expressed“through“signal“misin˜terpretation.‘"ÂDetection“pSŽoin˜ts“are“places“where“sig-Ž¡nal›öópSŽo•¬rw“er˜is˜in“terpreted.‘ç¤Detection˜pSŽoin“ts˜in˜a˜system˜ma“y˜bSŽe˜con“trol˜pSŽoin“ts˜where˜the˜signalŽ¡levš¬rel–Éis“used“to“con˜trol“a“device;‘,Úat“the“input“to“a“logic“gate,‘!Ñfor“example.‘½COr“they“ma˜y“bSŽeŽ¡output–ÿ2pšSŽoin¬rts“where“the“p˜o•¬rw“er›ÿ2lev“el˜is˜detected˜and˜con“v“ey“ed˜to˜an˜output˜subsystem˜as˜aŽ¡data–§Æstream.‘"•That“distinction“is“irrelev‘ÿXäanš¬rt“for“this“discussion,‘µ&and“w˜e“will“refer“to“detectionŽ¡pšSŽoin¬rts–…°in“b˜oth“of“these“cases.‘ øConsider“the“problem“of“correctly“in¬rterpreting“a“bit“streamŽ¡at–ÝÝsome“arbitrary“detection“pSŽoin¬rt.‘Figure“1“depicts“a“stream“of“1's“and“0's“arriving“at“aŽ¡detection›Ÿ{pSŽoin•¬rt.‘WXó1·ág£ cmmi12ÜPŸÌÌÁDŽ‘ UÛrepresen“ts˜the˜pSŽo“w“er˜detection˜threshold˜of˜the˜detector:‘¢…that˜pSŽo“w“erŽ¡lev•¬rel›'°bSŽelo“w˜whic“h˜the˜detector˜detects˜a˜0˜and˜abSŽo“v“e˜whic“h˜it˜detects˜a˜1.‘÷ãÜPŸÌÌÁSr}À1Ž– …–Ûand˜ÜPŸÌÌÁSr}À2Ž“Ûde neŽ¡a–H˜safetš¬ry“zone“around“ÜPŸÌÌÁDŽ‘µ¤Û.‘R°They“are“based“on“the“uncertain˜t˜y“in“ÜPŸÌÌÁDŽ‘ þ<Ûand“are“established“soŽ¡that–XŸthe“cš¬rhance“of“erroneous“signal“in˜terpretation“is“negligible.‘2By“de nition,‘uÔthe“device“willŽ¡opšSŽerate–ë$correctly“as“long“as“all“1's“arriving“at“the“detection“p˜oinš¬rt“ha˜v˜e“pSŽo˜w˜er“lev˜els“greaterŽ¡than–¥ ÜPŸÌÌÁSr}À1Ž‘òÛand“all“0's“arriving“at“the“detection“pSŽoinš¬rt“ha˜v˜e“pSŽo˜w˜er“lev˜els“less“than“ÜPŸÌÌÁSr}À2Ž‘ ]æÛ.‘h TheŽŽŸ’ç3ŽŽŒ‹« ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛw•¬reak“est–à 1“arriving“at“the“detection“pšSŽoin¬rt“under“all“conditions“from“all“p˜ossible“paths“to“theŽ¤ÿ[pSŽoin¬rt–s9is“de ned“as“ÜPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Û,›•^and“similarly‘ÿV,˜the“strongest“0“is“de ned“as“ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÛ.‘Ò”PropSŽer“deviceŽ¡opšSŽeration–ê¨can“b˜e“ensured“if“the“follo¬rwing“relations“are“met:Ž¤!ò~ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘Ë~Ü<–9¤PŸÌÌÁSr}À2Ž›—ŠÜ<“PŸÌÌÁDŽ‘ ïHÜ<“PŸÌÌÁSr}À1Ž˜Ü<“PŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Ü:’‘Û(1)ŽŽ¡It–AÒis“also“desirable“to“ha•¬rv“e–AÒinformation“abšSŽout“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ,‘c—the“maxim¬rum“p˜o•¬rw“er›AÒlev“el˜that˜can˜oSŽccurŽ¤ÿ[at–9Ëthe“inputs“to“a“givš¬ren“device.‘&HA‘9¶pSŽo˜w˜er“detector“ma˜y“pro˜vide“erroneous“results“when“theŽ¡pšSŽo•¬rw“er–sof“a“logic“1“arriving“at“a“detection“p˜oin¬rt“is“to˜o“large;‘!Øthat“is,‘¦when“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘aIÛexceeds“ÜPŸÌÌÁDŽŽ¡Ûbš¬ry–ʬsome“large“amoun˜t.‘ØìA‘Êrsecond“and“more“impSŽortan˜t“reason“for“computing“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘‚Ûis“thatŽ¡it– makš¬res“the“ma‘§jor“con˜tribution“to“cross“talk,‘oas“discussed“bSŽelo˜w.‘$Kno˜wledge“of“the“pSŽo˜w˜erŽ¡triple–©×ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÜ;‘ÿþPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Ü;“Ûand“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘û­Ûat“eacš¬rh“device“in“a“system“pSŽermits“the“trac˜king“of“pSŽo˜w˜er“lev˜elsŽ¡throughout–ê¨the“en¬rtire“system.ŽŸ/ú×C.Ž‘üÃMoY‹deling–2the“DeviceŽŸ%ëÔÛHere–K3wš¬re“discuss“the“means“for“calculating“the“pSŽo˜w˜er“triples“ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÜ;‘ßúPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Ü;“Ûand“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘ Ûat“theŽ¡outputs–ê¨of“a“givš¬ren“device,“giv˜en“the“v‘ÿXäalues“of“the“triples“at“eac˜h“of“its“inputs.‘8à.–õT.“.Ž¡‘Ÿô.–õT.“.“The›°‹pSŽo•¬rw“er˜triple˜for˜the˜Üj‘¬ÓÛth˜output˜of˜a˜device˜is˜computed˜from˜the˜input˜triplesŽ¡and–ê¨the“coupling“terms“as“follo¬rws:ŽŸ!ò~‘§ÜPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Û(outŽ‘øØ)ŸÌÌÁjŽŽŽ‘=ükÛ=ŽŽ‘\…minŽŽŽŸÿZ‘MuEÜs–URó2!",š cmsy10Ý2“ÛstatesŽŽŽŽ’„*!Ýf‘<öÛminŽŽŽŸÿZ‘ÿþinputsŽ‘' ÜiŽŽŽ‘1d‡Û[ÜPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Û(inŽ‘ ʤ)ŸÌÌÁiŽ‘‚Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ–JäÛ(ÜsÛ)]ÝgÜ;‘ÿþLŸÌÌÁijŽ“Û(ÜsÛ)–ª¤Ý2“ÛlossŽ‘ Ü;ŽŽ’Äü|Û(2)ŽŽŽŽŸ/2pÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÛ(outŽ‘øØ)ŸÌÌÁjŽŽŽ‘=ükÛ=ŽŽ‘[`ŸmaxŽŽŽŸÿZ‘MuEÜs–URÝ2“ÛstatesŽŽŽŽ’Œ°ÛŸõÿüóú±u cmex10«XŽŽŸ $’†*ÀinputsŽ’žÄ†ÁiŽŽŸäÿ𒣩^«8ŽŸ ’£©^>Ž¤’£©^>Ž¡’£©^<ŽŸ ’£©^>Ž¡’£©^>Ž¡’£©^:ŽŽŸõÌú’¯ŒíÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ(in)Ž‘#@Ÿ€ÁiŽ‘)O„Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ–JäÛ(ÜsÛ)›URÜ;‘UPLŸÌÌÁijŽ“Û(ÜsÛ)˜Ý2˜Ûcross‘ÿþtalkŽ‘2-ºÜ;ŽŽŸÿZ’¯ŒíPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÛ(inŽ‘ ʤ)ŸÌÌÁiŽ‘‚Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ–JäÛ(ÜsÛ)›URÜ;‘UPLŸÌÌÁijŽ“Û(ÜsÛ)˜Ý2˜ÛlossŽ‘½ÎÜ;ŽŽŽŽŽŽ’Äü|Û(3)ŽŽŽŽŸ)Ìd‘@ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ(outŽ‘øØ)ŸÌÌÁjŽŽŽ‘=ükÛ=ŽŽ‘[`ŸmaxŽŽŽŸÿZ‘MuEÜs–URÝ2“ÛstatesŽŽŽŽ’Œ°ÛŸõÿü«XŽŽŸ $’†*ÀinputsŽ’žÄ†ÁiŽŽ’£©^ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ(in)Ž‘#@Ÿ€ÁiŽ‘)O„Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ‘JäÛ(ÜsÛ)Ü:ŽŽ’Äü|Û(4)ŽŽŽŽŸ$%ƒEquation–)"(2)“states“that“the“pSŽo•¬rw“er–)"of“the“minim¬rum“1“emerging“from“the“ó3›»ˆ@ cmti12ÞjÛth“output“of“theŽ¡device–Ñ…will“bSŽe“the“minimš¬rum“o˜v˜er“all“pSŽossible“states“of“the“minim˜um“o˜v˜er“all“pSŽossible“inputsŽ¡haš¬rving–àÌloss“terms“of“the“minim˜um“1's“arriving“at“those“inputs“min˜us“the“loss“terms.‘àAEquationŽ¡(3)–™Ystates“that“the“pSŽo•¬rw“er–™Yof“the“maxim¬rum“0“emerging“from“the“ÞjÛth“output“of“the“device“willŽŽŸ’ç4ŽŽŒ‹í ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛbSŽe–.âthe“maximš¬rum“o˜v˜er“all“pSŽossible“states“of“the“sum“of“the“inputs“of“(ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘€¸Ûmin˜us“the“crossŽ¤ÿ[talk–B`term)“for“those“inputs“that“ha•¬rv“e–B`cross“talk“terms“in“that“state,‘XNplus“(ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘Ô:Ûmin¬rus“theŽ¡loss–ì—term)“for“those“inputs“that“ha•¬rv“e–ì—loss“terms“in“the“particular“state.‘>®Equation“(4)“statesŽ¡that–òÜPŸÌÌÀmaxŽ‘nÈÛemerging“from“the“ÞjÛth“output“of“the“device“will“bSŽe“the“maximš¬rum“o˜v˜er“all“theŽ¡pšSŽossible–ìÁstates“of“the“sum“o•¬rv“er–ìÁall“the“Þi“Ûinputs“of“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘>—Ûmin¬rus“the“loss“or“cross“talk“b˜et•¬rw“eenŽ¡eacš¬rh–ˆJof“those“inputs“and“the“output“ÞjÛ.‘ÇThese“equations“are“in“represen˜tational“format,‘¯³asŽ¡the–m?subtraction“of“the“loss“parameters“implies“logarithmic“units“for“pSŽo•¬rw“er;‘— so–m?in“practice“theŽ¡summations–ê¨require“con•¬rv“ersion–ê¨to“linear“units.‘8à.–õT.“.Ž¡‘ŸôThe–\·loss“and“cross“talk“terms“ÜLŸÌÌÁijŽ‘ §›Ûare“the“edge“w•¬reigh“ts›\·men“tioned˜abSŽo“v“e.‘ Note˜thatŽ¡circuit–»”heuristics“are“ignored“bSŽecause“the“extremes“are“takš¬ren“o˜v˜er“all“device“states.‘)/That“is,Ž¡the›$úpSŽo•¬rw“er˜triple˜is˜guaran“teed˜to˜b•SŽe˜a˜b“ound˜on˜the˜w•¬rorst˜case;‘B#but˜in˜a˜circuit,‘3Žthe˜w“orstŽ¡case–ºëma¬ry“not“bšSŽe“as“p˜o˜or“as“the“triple“oš¬rwing“to“the“exclusion“of“some“com˜binations“of“statesŽ¡and–Ñinputs.‘ÕZEquation“(3)“shoš¬rws“the“most“impSŽortan˜t“reason“for“trac˜king“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ:‘¡2the“greatestŽ¡pšSŽo•¬rw“er–2pro˜duces“the“largest“p˜ossible“cross“talk“term“in“this“mo˜del.‘¹Thš¬rus“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘âÛis“essen˜tial“forŽ¡calculating–ê¨subsequen¬rt“ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘|‚Ûterms.Ž¡‘ŸôAs–ÂÎexample“system“compSŽonenš¬rts,‘ýúconsider“lithium“niobate“directional“couplers“and“passiv˜eŽ¡3-dB›ùRcouplers–ùas“logic“devices“and“optical“ bSŽer“and“3-dB˜splitters“for“in¬rterconnection.‘è‚FigureŽ¡3–Q?shoš¬rws“a“lithium“niobate“directional“coupler“con gured“as“a“ v˜e-terminal“optical“device.Ÿû¥2À6ŽŽ¡ÛOf–©the“three“device“inputs,–ضa,“b,“and›©c,“only˜the˜ rst˜t•¬rw“o˜are˜transmitting˜inputs;‘RinputsŽ¡that–±¥couple“pšSŽo•¬rw“er–±¥directly“to“the“outputs.‘×Input“c,‘ãda“detection“p˜oin¬rt“in“our“terminology‘ÿV,Ž¡functions–í:as“a“device“conš¬rtrol.‘@–As“the“logic“equation“sho˜ws,‘íßwhen“sucien˜t“pSŽo˜w˜er“is“appliedŽ¡to–Lhc,‘lthe“switc¬rh“is“placed“in“the“bar“state;‘(otherwise“it“is“in“the“cross“state.‘ The“graph“moSŽdelŽ¡on–{the“righš¬rt“of“the“ gure“mak˜es“c“in˜to“a“detection“pSŽoin˜t“that“is“indepSŽenden˜t“of“the“t˜w˜o-stateŽ¡coupling›¼bSŽet•¬rw“een˜the˜other˜inputs˜and˜outputs.‘­Figure˜4˜illustrates˜at˜a˜more˜functionalŽ¡lev•¬rel›ê¨ho“w˜the˜transmission˜coupling˜oSŽccurs.Ž¡‘Ÿô3-dB‘ “couplers– Ýand“splitters“are“moSŽdeled“as“devices“with“t•¬rw“o– Ýinputs“and“t•¬rw“o‘ Ýoutputs,Ž¡with–W×3-dB‘W»of“loss“from“eacš¬rh“input“to“eac˜h“output,›s#no“cross“talk,˜a“single“device“state,˜andŽ¡no–[detection“pSŽoinš¬rts.‘‹˜Lossy“in˜terconnections,‘wÊsuc˜h“as“optical“ bšSŽers,‘wÊare“mo˜deled“as“devicesŽŽŸ’ç5ŽŽŒ‹*ñ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛwith–Stone“input,›­§one“output,˜a“single“loss“term,˜no“cross“talk,˜a“single“device“state,˜andŽ¤ÿ[no–¾ detection“pšSŽoin¬rts.‘´ÇThere“is“no“need“to“mo˜del“loss-free“in¬rterconnections,‘óžsince“they“addŽ¡nothing–Ö4to“the“analysis.‘2Ho•¬rw“ev“er,›ÚKif–Ö4it“is“desired“to“moSŽdel“them“for“clarit¬ry‘ÿV,˜or“if“a“graphicalŽ¡system–üãmoSŽdel“already“exists“that“conš¬rtains“them,‘Arthey“ma˜y“bšSŽe“mo˜deled“exactly“lik¬re“lossyŽ¡in¬rterconnections,–ê¨but“with“zero“loss“and“cross“talk.Ž©.€×D.Ž‘ŒÐMoY‹deling–2the“SystemŽŸ&9NÛIn–1®this“section“wš¬re“extend“the“applicabilit˜y“of“the“device“graph“moSŽdel“to“complete“systems.Ž¡.–õT.“.“The–{´problem“of“ nding“critical“paths“is“ecien¬rtly“solv‘ÿXäable“with“order“(ÜnÛ)“depth- rstŽ¡searcš¬rh–Ûz(DFS)‘Úúalgorithms.Ÿû¥2À9Ž‘ ›~ÛThe“pSŽo˜w˜er“triples“are“calculated“b˜y“scanning“the“v˜ertices“inŽ¡ascending–¤>order“and“applying“Eqs.“(2){(4)“to“eacš¬rh.‘!gWhen“the“searc˜h“algorithm“detects“thatŽ¡the–>÷conditions“of“Eq.‘ÿ¥(1)“are“not“met,‘aMit“is“desirable“to“kno¬rw“the“critical“path“to“the“detectorŽ¡so–ê¨that“the“problem“can“bSŽe“corrected.‘8à.–õT.“.Ž¦×3.Ž‘dDiscussionŽŸ&9NÛThe–®tec¬rhnique“describšSŽed“ab˜o•¬rv“e–®is“indisp˜ensable“in“designing“complex“optical“systems“whoseŽ¡compSŽonen•¬rts›å÷ha“v“e˜signi can“t˜nonidealities.‘*ÌIt˜has˜b•SŽeen˜incorp“orated˜in¬rto˜a˜digital˜opticalŽ¡computer-assisted–À0design“system,‘õ’HA‘ÿVTCH,Ÿû¥2À10Ž‘ À8Ûwhere“it“has“pro•¬rv“en›À0in“v‘ÿXäaluable˜in˜the˜designŽ¡of–@Øoptical“counš¬rtersŸû¥2À11Á;À12Ž‘\Ûand“an“optical“dela˜y“line“memory“system.Ÿû¥2À13Ž‘ @àÛIt“is“no˜w“bSŽeing“used“inŽ¡designing–ê¨a“bit-serial“optical“computer“no¬rw“under“construction“in“our“labSŽoratories.‘8à.–õT.“.Ž¡‘ŸôAs–a¯wš¬re“men˜tioned“abSŽo˜v˜e,‘qlinear“cross“talk“and“loss“bSŽeha˜viors“are“assumed“in“the“deviceŽ¡mošSŽdels–Ú[for“computing“the“p˜o•¬rw“er–Ú[triples.‘øIf“the“transfer“functions“of“the“devices“are“non-Ž¡linear,‘6then–æthe“three“equations“should“bšSŽe“mo˜di ed“to“incorp˜orate“the“appropriate“transferŽ¡c¬rharacteristics.ŽŽŸ’ç6ŽŽŒ‹7) ¯î™ ý7g ªî™ ýxgŸ&9NÛThis–(Yresearcš¬rh“w˜as“suppSŽorted“b˜y“the“National“Science“F‘ÿVoundation“Engineering“Researc˜h“Cen-ŽŸÿ[ters–»ùprogram“under“granš¬rt“CDR‘»¬8622236“and“b˜y“the“Colorado“Adv‘ÿXäanced“T‘ÿVec˜hnology“Institute.ŽŽŸ’ç7ŽŽŒ‹?² ¯î™ ý7g ªî™ ýxgó5ÂÖN  cmbx12àReferencesŽŸ$ÿ[‘ßüÛ1Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–“C.“P¬ralais,‘WŽÞFib›ÿffer–?ˆOptic“Communic˜ationsÛ,›WŽ2nd–“ed.“(Pren•¬rtice-Hall,˜Englew“o•SŽo“d‘“Cli 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Û11ŽŽŒøMÒƒ’À;è¯î™Ô ó<ÂÖN ff cmbx12ó9X«Q ff cmr12ó5ÂÖN  cmbx12ó3›»ˆ@ cmti12ó2!",š cmsy10ó1·ág£ cmmi12ó0X«Q cmr12ó,ò"V ó3 cmbx10ó*ý': ó3 cmti10ó)!",š ó3 cmsy10ó(  b> ó3 cmmi10ó'Kñ`y ó3 cmr10ó×2cmmi8ó|{Ycmr8óú±u cmex10ùOißßßß