÷ƒ’À;è TeX output 1996.03.25:2223‹ÿÿÿÿ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg–2ó,ò"V ó3 cmbx10×V.“EXš¦tCERPTS“FR˜OM“OSA“MANUSCRIPTSŽŸ&9Nó5ÂÖN  cmbx12à(File:‘sample.tex)ŽŸ1"‘Ÿôó0X«Q cmr12ÛMan¬ruscript–¦Zexcerpts“from“ó3›»ˆ@ cmti12ÞJournal–ôlof“the“Optic›ÿffal“So˜ciety“of“A³2meric˜a“A–¦IÛ(JOSA“A),‘¦ZÞJour-ŽŸ nal–î(of“the“Optic›ÿffal“So˜ciety“of“A³2meric˜a“B–ŸuÛ(JOSA“B),–Ÿˆand“ÞApplie˜d‘î(Optics“Ûare“presen¬rted“in“thisŽ¤ ÿ­doSŽcumen•¬rt,‘ðsample.tex.‘¬@Eac“h›»Èman“uscript˜has˜bSŽeen˜\T‘þ ‘Ÿ•UEŽ–‘!Xed"˜with˜the˜REVT‘þ ‘Ÿ•UEŽ“X3.0˜macrosŽ¡added–a to“the“original“man•¬ruscript.‘ Eac“h›a man“uscript˜w“as˜also˜cut˜to˜abSŽout˜20%˜of˜its˜originalŽ¡length.Ž¡©ô‘ŸôEv•¬ren›t?n“um“bSŽered˜pages˜presen“t˜the˜man“uscript˜output,‘‹îas˜proSŽduced˜b“y˜REVT‘þ ‘Ÿ•UEŽ‘‘!X3.0.‘hOddŽ¡n•¬rum“bšSŽered–ÎÃpages“sho¬rw“the“ASCI˜I‘λinput“required“to“pro˜duce“the“output“sho¬rwn“on“the“previ-Ž¡ous–ê¨page,“for“an“OSA“man¬ruscript“submission.Ž¡¦‘ŸôMore–ðcomplete“vš¬rersions“(appro˜ximately“40%“complete)“of“these“sample“man˜uscripts“areŽ¡a¬rv‘ÿXäailable–òùin“the“ les“josaa.tex,–õjosab.tex,“and›òùaplop.tex.‘QÔJosaa.tex,“josab.tex,“and˜aplop.texŽ¡ha•¬rv“e–kÜnot“bšSŽeen“mo˜di ed“to“displaš¬ry“input“on“facing“pages.‘¼{The“full“articles“are“a˜v‘ÿXäailable“inŽ¡the–ê¨OSA“journals.‘8àThey“are:Ž¡Ÿ%K.‘_ì1.‘ïîR.–ÒWJ.“Sasiela,› C\Strehl“ratios“with“v‘ÿXäarious“t¬rypSŽes“of“anisoplanatism,"˜J.“Opt.Ž¡‘_ìSoSŽc.–ê¨Am.“A“à9,“Û1398{1405“(1992).Ž¡Ÿ9æ‘_ì2.‘õ¤W.–)”Zhao“and“E.“Bourk¬ro ,–yO\Generation,“propagation,“and–)”ampli cation“ofŽ¡‘_ìdark–ê¨solitons,"“J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“B“à9,“Û1134{1144“(1992).Ž¡Ÿ#ô‘_ì3.‘0{J.–ÑyP›ÿV.“Pratt“and“V.“P˜.“Heuring,‘Öƒ\Designing“digital“optical“computing“systems:Ž¡‘_ìpSŽo•¬rw“er–ê¨distribution“and“cross“talk,"“Appl.“Opt.“à31,“Û4657{4661“(1992).Ž¡Ÿ7¡‘ŸôÞThe–~Optic›ÿffal“So˜ciety“of“A³2meric˜a“expr˜esses“its“appr˜e˜ciation“to“the“authors“liste˜d“ab˜ove“forŽŸÿZtheir–35p›ÿffermission“to“r˜euse“the“material“in“this“way.ŽŸ!ÿZ’•F8ž«‚ó'Kñ`y ó3 cmr10ÒcŽŽŽ’’;Œó)!",š ó3 cmsy10Ô ŽŽŽ’ Õ'ÒOptical–¦fSoMÞciet²!y“of“America,“1992.ŽŽŸ’çÛ1ŽŽŒ‹* ¯î™ ý7g ªî™ ýzf‘¼1óAÂÖN G® cmbx12ëAStrehl–záratios“with“v‘þë…arious“t‘ÿuÂyp‘Š=es“of“anisoplanatismŽŸ*¡’»ò÷ÛRic¬rhard–ê¨J.“SasielaŽ¤ÿZ‘§ÞLinc–ÿffoln›35L“ab“or“atory,˜Massachusetts˜Institute˜of˜T‘ÿ™e“chnolo“gy,˜L“exington,˜MassachusettsŽ¡’ÌæX02173-9108ŽŸL\’Ï"nó9X«Q ff cmr12äAbstractŽŸ"‘&‘#¥EÒThere–Ž\are“manš²!y“w˜a˜ys“in“whic˜h“the“paths“of“t˜w˜o“w˜a˜v˜es“through“turbulence“can“bMÞecomeŽ¤ÿ[‘!éseparated,‘´thereb²!y–±Kleading“to“anisoplanatic“e ects.‘þAmong“these“are“a“parallel“pathŽ¡‘!éseparation,›0¬an–angular“separation,˜one“caused“bš²!y“a“time“dela˜y‘ÿe,‘0¬and“one“that“is“dueŽ¡‘!éto–ù½di erenš²!tial“refraction“at“t˜w˜o“w˜a˜v˜elengths.‘×âAll“these“e ects“can“bMÞe“treated“in“theŽ¡‘!ésame–†manner.‘ÓGegenš²!bauer“pMÞolynomials“are“used“to“obtain“an“appro˜ximation“for“theŽ¡‘!éStrehl–Kratio“for“these“anisoplanatic“e ects,‘tÇyielding“a“greater“range“of“applicabilit²!yŽ¡‘!éthan–¦fthe“Mar²"‘úÔDecš²!hal“appro˜ximation.ŽŸ/Ý×1.Ž‘–“INTR¦tODUCTIONŽŸ%èïÛAdaptivš¬re-optics–¨{systems“are“used“to“correct“images“of“ob‘§jects.‘ rYThese“systems“w˜ork“b˜yŽ¤ÿZmeasuring–¡±the“phase“distortion“on“a“doš¬rwnpropagating“w˜a˜v˜e“called“a“bSŽeacon“and“applyingŽ¡the–r3negativš¬re“of“that“phase“to“a“deformable“mirror.‘¹If“this“is“done“w˜ell,‘ŠKthen“the“image“of“theŽ¡bšSŽeacon–ŒØis“close“to“di raction“limited;‘Ýñand“if“a“laser“b˜eam“is“pro‘§jected“along“the“correctedŽ¡path,‘õiit–Àwill“ha•¬rv“e–Àpropagation“cš¬rharacteristics“approac˜hing“those“of“a“w˜a˜v˜e“propagating“inŽ¡v‘ÿXäacuum.‘—It–‹åis“not“pšSŽossible“to“mak¬re“a“p˜erfect“correction;‘܃one“of“the“ma‘§jor“error“sources“isŽ¡due–³¡to“the“fact“that“the“ra¬rys“of“the“ob‘§ject“to“bšSŽe“imaged“or“the“laser“b˜eam“to“b˜e“propagatedŽ¡are–4àalong“a“path“displaced“from“that“of“the“bSŽeacon.‘‰A‘4Ímeasuremen¬rt“of“this“degradation“isŽ¡the–B·Strehl“ratio,‘Xºwhicš¬rh“is“the“ratio“of“the“in˜tensit˜y“of“the“actual“bSŽeam“on“axis“to“that“of“aŽ¡di raction-limited‘ê¨bSŽeam.ŽŽŸ’ç2ŽŽŒ‹Õ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­ó6߆µT cmtt12á\documentstyle[osa,manuscript]{revtex}‘ Yš%–,ÍDON'T“CHANGE“%Ž¡\newcommand{\MF}{{\large{\manual–,ÍMETA}\-{\manual“FONT}}}Ž¡\newcommand{\manual}{rm}‘1fh%–,ÍSubstitute“rm“(Roman)“font.Ž¡\newcommand\bs{\char–,Í'134“}‘à%“add“backslash“char“to“\tt“font“%Ž¡%Ž¡\begin{document}‘bÌÐ%–,ÍINITIALIZE“-“DONT“CHANGE“%“%‘ Yš%Ž¡¡\title{Strehl–,Íratios“with“various“types“of“anisoplanatism}Ž¡¡\author{Richard–,ÍJ.“Sasiela“}Ž¡¡\address{Lincoln–,ÍLaboratory,“Massachusetts“Institute“of“Technology,Ž¡Lexington,‘ YšMassachusetts–,Í02173-9108}“%Ž¡¡\maketitleŽ¡\begin{abstract}‘bÌÐ%–,ÍDON'T“CHANGE“THIS“LINEŽ¡There–,Íare“many“ways“in“which“the“paths“of“two“waves“throughŽ¡turbulence‘ Yšcan–,Íbecome“separated,“thereby“leading“to“anisoplanaticŽ¡effects.– YšAmong“these–,Íare“a“parallel“path“separation,“an“angularŽ¡separation,–,Íone“caused‘ Yšby“a“time“delay,“and“one“that“is“due“toŽ¡differential–,Írefraction“at“two– Yšwavelengths.“All–,Íthese“effects“canŽ¡be–,Ítreated“in“the“same“manner.‘†gGegenbauer“polynomials“are“used“toŽ¡obtain–,Ían“approximation“for“the‘ YšStrehl“ratio“for“theseŽ¡anisoplanatic–,Íeffects,“yielding“a“greater“range‘ Yšof“applicabilityŽ¡than–,Íthe“Mar\'{e}chal“approximation.Ž¡\end{abstract}Ž¡¡\section{‘,ÍINTRODUCTION}Ž¡Adaptive-optics–,Ísystems“are‘ Yšused“to“correct“images“of“objects.Ž¡These–,Ísystems“work“by“measuring“the‘ Yšphase“distortion“on“aŽ¡downpropagating–,Íwave“called“a“beacon“and“applying‘ Yšthe“negative“of“thatŽ¡phase–,Íto“a“deformable“mirror.› YšIf“this“is“done˜well,“then“theŽ¡image–,Íof“the“beacon“is“close“to“diffraction“limited;“and‘ Yšif“aŽ¡laser–,Íbeam“is“projected“along“the“corrected“path,“it“will“haveŽ¡propagation–,Ícharacteristics“approaching“those“of“a“wave“propagatingŽ¡in– Yšvacuum.“It–,Íis“not“possible“to“make“a“perfect“correction;“oneŽ¡of–,Íthe› Yšmajor“error“sources“is“due“to“the“fact˜that“the“rays“ofŽ¡the–,Íobject“to‘ Yšbe“imaged“or“the“laser“beam“to“be“propagated“areŽ¡along–,Ía“path“displaced› Yšfrom“that“of“the“beacon.˜A“measurement“ofŽ¡this–,Ídegradation“is“the‘ YšStrehl“ratio,“which“is“the“ratio“of“theŽ¡intensity–,Íof“the“actual“beam“on‘ Yšaxis“to“that“of“aŽ¡diffraction-limited‘,Íbeam.Ž¡ŽŸ’çÛ3ŽŽŒ‹ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛThis–<µdisplacemenš¬rt“can“ha˜v˜e“sev˜eral“causes.‘þäThe“receiving“and“the“transmitting“apSŽerturesŽ¤ÿZmaš¬ry–DïbSŽe“displaced“from“eac˜h“other“o˜wing“to“misalignmen˜t“or“vignetting“of“the“bSŽeams.‘GµTheŽ¡paths–_Þcan“bSŽe“separated“in“angle,›{ for“instance,˜when“the“ob‘§ject“to“bSŽe“imaged“is“di eren¬rt“fromŽ¡the–ÅKbSŽeacon.‘ÈÈThe“correction“is“applied“with“a“time“delaš¬ry“after“the“measuremen˜ts.‘ÈÈIn“thisŽ¡time–-îthe“turbulence“is“displaced“bš¬ry“winds“and“slewing“of“the“telescopSŽe.‘±The“paths“ma˜y“bSŽeŽ¡separated–=bšSŽecause“the“b˜eacon“and“the“imaging“w•¬ra“v“elengths–=di er,‘Q¶in“whic¬rh“case“refractionŽ¡opSŽerates–ê¨di erenš¬rtly“on“the“t˜w˜o“w˜a˜v˜es.‘8àAll“the“e ects“are“t˜ypically“presen˜t“sim˜ultaneously‘ÿV.Ž¡‘ŸôThese–ê¨anisoplanatisms“ha•¬rv“e–ê¨bSŽeen“treated“separately“in“the“pastŸû¥2ó|{Ycmr8À1Û{Ž‘ßüÀ7Ž‘àÛ;“.–õT.“.ŽŸ.Â×2.Ž‘–“STREHL–2RA›þó\TIO“WITH“ANISOPLANA˜TISMŽŸ&9MÛF‘ÿVor–da“pšSŽerfect“correction“the“paths“of“the“b˜eacon“signal“and“the“imaging“or“pro‘§jected“laserŽ¡should–™`bšSŽe“the“same.‘ÈIn“general,‘©¡this“is“not“p˜ossible“to“ac•¬rhiev“e,‘©¡and–™`there“is“a“degradation“inŽ¡pSŽerformance–zócaused“bš¬ry“time“dela˜ys,‘‘Jdisplacemen˜t“of“the“t˜w˜o“paths“b˜y“translation“and“angle,Ž¡and–ê¨di erences“in“w•¬ra“v“elength–ê¨of“the“bSŽeacon“and“the“measuremen¬rt“or“pro‘§jecting“systems.Ž¡‘ŸôThe–Gáe ects“of“displacemenš¬rt,‘hoangular“mispSŽoin˜ting,‘hotime“dela˜y‘ÿV,‘hoand“atmospheric“dispSŽersionŽ¡can–|µeacš¬rh“bSŽe“treated“as“an“anisoplanatic“e ect.‘ïIn“fact,‘¡8if“all“the“e ects“are“presen˜t“sim˜ul-Ž¡taneously‘ÿV,‘ì they–ì;can“bSŽe“comš¬rbined“to“get“a“total“o set“of“the“measuremen˜t“from“the“imagingŽ¡paths.‘+In–ÁDthis“section“the“e ect“of“a“general“displacemen¬rt“on“the“Strehl“ratio“is“determined.Ž¡‘ŸôThe–#Strehl“ratio“(SR)‘for“a“circular“apSŽertureŸû¥2À7Ž‘Á'Ûfrom“the“Huygens{F‘ÿVresnel“appro¬rximationŽ¡isŽ¤#ÿZSRŽ‘‚=Ÿ÷áÅ‘È1Ž‘ˆ…ŸQm‰fe øŸ  2ó1·ág£ cmmi12ÜŽŽŽŽ‘´7Ÿñã‡óú±u cmex10«ZŽ‘ ´6ÛdóTDF‰” cmmib10ëT ŽŽ‘2[ÿÜK‘ÜžÛ(Ü Û)‘ÿüexpŽ‘ózŸîf\«"Ž‘ÈÑó2!",š cmsy10ÝŸ÷áÅ‘33D‘UTÛ(Ž‘çëT ŽŽ‘ËÛ)ŽŽŽ‘33ŸQm‰feÛGŸ  ‘ ý¦2ŽŽŽŽŽ‘I_ÕŸîf\«#ŽŽ‘Q5*Ü:ŽŽ’Äü|Û(1)ŽŽŽŽ¡The–Dãinš¬rtegral“is“o˜v˜er“a“circular“apSŽerture“of“unit“radius,›[rÝDUVÛ(ëT ŽŽ‘ ³Û)“is“the“structure“function,˜andŽŸÿZÜK‘ÜžÛ(Ü Û)–ê¨is“a“factor“times“the“optical“transfer“function“givš¬ren“b˜yŽ¡ÜK‘ÜžÛ(Ü •Û)‘UR=Ÿ÷áÅ‘ˆ…16Ž‘ˆ…ŸQm‰fe ¿øŸ  ‘SºÜŽŽŽŽ‘{®Ÿñf^«Ž‘ÂÌÛcosŽ‘(~"Ÿû ™ó¾KÈ cmsy8ÂÀ1Ž‘3ÚžÛ(Ü “Û)–ª¨Ý“Ü ‘Ÿôf`«Ž‘ qÛ1“Ý“Ü Ÿû ™À2ŽŽ‘(ãàŸôf`«ŽŽ‘.ÜÄŸ÷*¦À1ó×2cmmi8Á=À2ŽŽ’–ËžŸñf^«ŽŽ’ ¸ÜU‘@äÛ(1–ª¨Ý“Ü Û)Ü;ŽŽ’Äü|Û(2)ŽŽŽŽŽŸ’ç4ŽŽŒ‹% ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­áThis–,Ídisplacement“can› Yšhave“several“causes.˜The“receiving“and“theŽ¡transmitting–,Íapertures“may‘ Yšbe“displaced“from“each“other“owing“toŽ¡misalignment–,Íor“vignetting“of“the– Yšbeams.“The–,Ípaths“can“beŽ¡separated–,Íin“angle,“for“instance,“when“the‘ Yšobject“to“be“imaged“isŽ¡different–,Ífrom“the“beacon.› YšThe“correction“is˜applied“with“a“timeŽ¡delay–,Íafter“the“measurements.› YšIn“this“time“the˜turbulence“isŽ¡displaced–,Íby“winds“and“slewing“of“the“telescope.– YšThe“paths–,Ímay“beŽ¡separated–,Íbecause“the“beacon“and“the“imaging“wavelengths‘ Yšdiffer,Ž¡in–,Íwhich“case“refraction“operates“differently“on“the“two“waves.Ž¡All–,Íthe‘ Yšeffects“are“typically“present“simultaneously.Ž¡¡These‘ Yšanisoplanatisms–,Íhave“been“treated“separately“in“theŽ¡past\cite{1,2,3,4,5,6,7};‘,Í\ldotsŽ¡¡\section{–,ÍSTREHL“RATIO“WITH“ANISOPLANATISM}Ž¡\label{SR}Ž¡For–,Ía“perfect“correction“the‘ Yšpaths“of“the“beacon“signal“and“theŽ¡imaging–,Íor“projected“laser“should“be› Yšthe“same.˜In“general,“thisŽ¡is–,Ínot“possible“to“achieve,“and“there“is“a‘ Yšdegradation“inŽ¡performance–,Ícaused“by“time“delays,“displacement“of“the‘ Yštwo“pathsŽ¡by–,Ítranslation“and“angle,“and“differences“in“wavelength“of“theŽ¡beacon–,Íand“the“measurement“or“projecting“systems.Ž¡¡The–,Íeffects“ofŽ¡displacement,–,Íangular“mispointing,“time“delay,“and“atmosphericŽ¡dispersion–,Ícan“each“be“treated“as“an“anisoplanatic“effect.‘ YšInŽ¡fact,–,Íif‘ Yšall“the“effects“are“present“simultaneously,“they“can“beŽ¡combined–,Íto“get‘ Yša“total“offset“of“the“measurement“from“the“imagingŽ¡paths.– YšIn›,Íthis“section˜the˜effect˜of˜a˜general˜displacement˜onŽ¡the–,ÍStrehl“ratio“is‘ Yšdetermined.Ž¡¡The–,ÍStrehl“ratio“(SR)“for“a“circular“aperture“\cite{7}“from‘ YštheŽ¡Huygens--Fresnel–,Íapproximation“is– Yš\begin{eqnarray}{\rm“SR}Ž¡={1–,Í\over“{2\pi“}}\int“{{\rm“d}\bbox‘ Yš\alpha“}\,K(\alpha“)\,\expŽ¡\,\left[–,Í{-{{{\cal“D}\left(“{\bbox“\alpha“}“\right)}‘ Yš\over“2}}Ž¡\right].\end{eqnarray}‘ YšThe–,Íintegral“is“over“a“circular“aperture“ofŽ¡unit–,Íradius,› Yš${\cal“D}(“{\bbox“\alpha“}“)$˜is“the“structureŽ¡function,–,Íand› Yš$K(\alpha“)$˜is“a˜factor“times“the“opticalŽ¡transfer–,Ífunction“given“by‘ Yš\begin{eqnarray}K(\alpha“)={{16}“\overŽ¡\pi–,Í}\left[“{\cos“^{-“1}(\alpha“)-\alpha“\left(“{1-\alpha“^2}Ž¡\right)^{1/–,Í2}}“\right]\,U(1-“\alpha“),\end{eqnarray}Ž¡ŽŸ’çÛ5ŽŽŒ‹%… ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛwhere–ê¨ÜU‘@âÛ(Ž‘Ò¦ÜxÛ)ŽŽ‘üdis“the“unit“step“function“de ned“asŽ¤MÜU‘@äÛ(ÜxÛ)ŽŽ‘aõ=ŽŽ‘(ÚÏ1‘ÿðforŽ‘&ÂÜx–URÝ“Û0‘ÿþÜ;ŽŽŽŸÿZU‘@äÛ(ÜxÛ)ŽŽ‘aõ=ŽŽ‘(ÚÏ0‘ÿðforŽ‘&ÂÜx–UR<“Û0‘ÿüÜ:ŽŽ’Äü|Û(3)ŽŽŽŽ¡‘ŸôT‘ÿVo–k· nd“the“Strehl“ratio,‘‹ûone“mš¬rust“ rst“determine“the“structure“function.‘¼It“w˜as“foundŽ¤ÿZbš¬ry–ŠÐF‘ÿVriedŸû¥2À4Ž‘JÔÛfor“angular“anisoplanatism.‘íIf“the“source“is“collimated“and“a“general“displacemen˜tŽ¡is–ê¨inš¬rtroSŽduced,“his“expression“for“a“w˜a˜v˜e“propagating“from“ground“to“space“bSŽecomesŽ¤MÝDUVÛ(Ü ‘DŽ‘¡ÏÛ)ŽŽ‘(±·=ŽŽ‘5*‘2(2Ü:Û91)‘ÿþÜkŸÌÌÀ0ŽŽ‘ ÜpŸúÕW2ŽŸï㈑G&Â1ŽŸx‘•^Ÿñ㇫ZŽŽŸî÷‘Õ^À0ŽŽ‘'ŽHÛdÜz‘ˆáCŸÌÌÁnŽŽ‘™>Ÿú÷xÀ2Ž‘YBÛ(Üz–ˆãÛ)‘ÿþŸôf`«hŽ‘¸âÛ(Ü ‘DŽ‘¡ÏÛ)Ÿû ™À5Á=À3Ž‘ê´Û+‘ª¨ÜdŸû ™À5Á=À3Ž‘ @ Û(Üz“Û)ŽŽŽŽŽŸîü‘6]ÄÝ‘ ¿øŸû ™À1Ž‘ ù–Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ2ŽŽ‘lÂÝjŽ‘ÂëT ŽŽ‘'âËÜD‘þ6Û+‘ª¨ëTdŽŽ‘ û·Û(Üz‘ˆãÛ)Ž‘XãtÝjŽŽ‘\8ÊŸú*«À5Á=À3Ž‘l#~Ý‘j Ÿû¥2À1Ž‘¤>Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ2ŽŽ‘lÝjŽ‘ lÀëT ŽŽ‘*sÜD‘þ6Ý‘ª¨ëTdŽŽ‘ û·Û(Üz‘ˆãÛ)Ž‘[¿ëÝjŽŽ‘_AŸú*«À5Á=À3ŽŽ’!=Ÿôf`«iŽŽ’(:Ü;ŽŽ’Äü|Û(4)ŽŽŽŽ¡where‘ž-ÜCŸÌÌÁnŽŽ‘®ŠŸú÷xÀ2Ž‘nŽÛ(Üz‘ˆãÛ)–ž-is“the“turbulence“strength“as“a“function“of“altitude;‘·¬ÜkŸÌÌÀ0Ž‘VÛ=‘UR2‘Ün9=;“Ûwhere“Ü“Ûis“theŽ¤ÿZw•¬ra“v“elength–£Uof“opšSŽeration;‘»ÜD‘öãÛis“the“ap˜erture“diameter;‘»and“ëTdŽŽ‘ ôdÛ(Üz‘ˆãÛ)“is“the“vš¬rector“displacemen˜t“ofŽ¡the›ê¨t•¬rw“o˜paths.Ž¡‘ŸôThe– sums“of“the“terms“in“brac•¬rk“ets– almost“cancel,‘¦th¬rus“causing“diculties“if“one“tries“toŽ¡ev‘ÿXäaluate–ê¨this“inš¬rtegral“n˜umerically‘ÿV.‘8àThe“terms“in“the“absolute-v‘ÿXäalue“sign“are“equal“toŽ¤MÝjŽ‘UTëT ŽŽ‘vÜD‘þ6Ý‘ª¨ëTdŽŽ‘ û·Û(Üz‘ˆãÛ)Ž‘@¨ÝjŽŽ‘CýÕŸú*«À5Á=À3Ž‘T“3Û=‘URŸôf`«hŽ‘6Û(Ž‘ ŸúÜ ‘DŽ‘AÉÛ)ŽŽ‘#ÓŸú*«À2Ž‘+>9Ý–ª¨Û2Ü ‘D‘SŒdÛ(Üz›ˆãÛ)‘ÿþcosŽ‘»R(Ž‘MÜ'Û)ŽŽ‘';ø+“ÜdŸû ™À2Ž‘ÀÛ(Üz˜Û)Ž’´«Ÿôf`«iŽŽ’¸¼Ÿ÷*¦À5Á=À6Ž’Çü™Ü;ŽŽ’Äü|Û(5)ŽŽŽŽ¡where–'Bis“the“angle“bšSŽet•¬rw“een‘'BëT ŽŽ‘o7Ûand‘'BëTdŽŽ‘ xQÛ(Üz‘ˆãÛ)–'B.‘÷¾This“expression“can“b˜e“simpli ed“and“the“n¬rumericalŽ¤ÿZdiculties–÷can“bSŽe“eliminated“bš¬ry“using“Gegen˜bauer“pSŽolynomials.Ÿû¥2À8Ž‘·ÛTheir“generating“functionŽ¡isŽ¤MŸôf`«Ž‘øäÛ1–ª¨Ý“Û2Üax“Û+“ÜaŸû ™À2ŽŽ‘FŸ³Ÿôf`«ŽŽ‘L˜—Ÿ÷*¦ÂÁŽ‘[ÿ»Û=Ÿòÿý‘§;Â1ŽŸ ‘®ZŸõÿü«XŽŽŸ Ò‘URÁpÀ=0ŽŽ‘y)ÜCŸÌÌÁpŽŽ‘!¨“Ÿú÷xŽ‘'íÛ(ÜxÛ)‘ÿþÜaŸû ™ÁpŽŽ‘Cá#Ü:ŽŽ’Äü|Û(6)ŽŽŽŽ¡These–%ýfunctions“are“sometimes“referred“to“as“ultraspherical“functions“bSŽecause“they“are“aŽ©ÿZgeneralization–ê¨of“the“Legendre“pSŽolynomials“ÜPŸÌÌÁnŽ‘¨PÛ(ÜtÛ)“,“whose“generating“function“isŽ¡Ÿôf`«Ž‘øäÛ1–ª¨Ý“Û2Üax“Û+“ÜaŸû ™À2ŽŽ‘FŸ³Ÿôf`«ŽŽ‘L˜—Ÿ÷*¦ÂÀ1Á=À2Ž‘cÊmÛ=Ÿòÿý‘§;Â1ŽŸ ‘®ZŸõÿü«XŽŽŸ Ò‘URÁpÀ=0ŽŽ‘y)ÜPŸÌÌÁpŽ‘Ç]Û(ÜxÛ)‘ÿþÜaŸû ™ÁpŽŽ‘=–‘Ü:ŽŽ’Äü|Û(7)ŽŽŽŽ¡The–°nGegenš¬rbauer“pSŽolynomials“with“the“cosine“of“a“v‘ÿXäariable“as“the“argumen˜t“are“giv˜en“in“Eq.Ž¦(8.934–ê¨#2)“of“Ref.“8“and“can“bSŽe“rewritten“asŽ¡ÜCŸÌÌÁpŽŽ‘ /jŸú÷xŽ‘¤ÂÛ[Ž‘èNcosŽ‘)£¢(Ž‘.5fÜ'Û)ŽŽŽ‘:y ]ŽŽ‘A~=ŸòUQ‘ bDÁpŽŸ ª¯‘MŸõÿü«XŽŽŸ Ò‘URÁmÀ=0ŽŽŸ÷áÅ‘éÃÛ‘ÿü[Ž‘CˆÜ–ª¨Û+“ÜmŽ‘&ÞÛ]ŽŽ‘.!£‘ÿü[Ž‘CˆÜ–ª¨Û+“Üp“Ý“ÜmŽ‘;noÛ]ŽŽ‘@±ùcosŽ‘RmM[Ž‘U°Ù(Üp–ª¨Ý“Û2ÜmÛ)Ü'Ž’‹><Û]ŽŽŽ‘éßQm‰feËRQŸ 0W‘2ö@ÜmÛ!‘ÿþ(Üp–ª¨Ý“ÜmÛ)!‘ÿü(Ž‘‘À‘ÿü[Ž‘CˆÜÛ]ŽŽŽ‘!Jí)ŽŽ‘%ܱŸú*«À2ŽŽŽŽŽ’åoGÜ;ŽŽ’Äü|Û(8)ŽŽŽŽŽŸ’ç6ŽŽŒ‹/8 ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­áwhereŽ¡$U\left(– Yšx›,Í\right)$“is˜the˜unit˜step˜function˜defined˜asŽ¡\begin{eqnarray}–,ÍU(“x“)&=&1\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm“for}\,\,\,\,x\geŽ¡0\,,‘ Yš\nonumber–,Í\\‘†gU(“x“)&=&0\,\,\,\,\,\,\,\,{\rmŽ¡for}\,\,\,\,x<0\,\,.‘³4\end{eqnarray}Ž¡¡To–,Ífind‘ Yšthe“Strehl“ratio,“one“must“first“determine“the“structureŽ¡function.– YšIt“was–,Ífound“by“Fried\cite{4}‘ Yšfor“angularŽ¡anisoplanatism.› YšIf–,Íthe“source˜is“collimated“and“a“generalŽ¡displacement–,Íis“introduced,“his“expression‘ Yšfor“a“wave“propagatingŽ¡from–,Íground“to“space“becomesŽ¡\begin{eqnarray}Ž¡{\cal‘,ÍD}({\alphaŽ¡\kern–,Í1ptD}“)&=&“2(2.91)\,{k_0}^2\int\limits_{\,\,\;“0}^{\,\,\,\,\,\;Ž¡\infty}‘†g{\rm–,Íd}z\,{C_n}^2(z)\left[“{(“{\alpha“\kern“1ptD}‘ Yš)^{5/Ž¡3}+d^{5/‘,Í3}(z)}\right.‘ Yš\nonumber\\Ž¡&&\left.Ž¡{-{\slantfrac{1}{2}}\,\left|–,Í{{\bbox“\alpha}“\kern“1ptD+{\bboxŽ¡d}(z)\,}–,Í\right|^{5/“3}“-{\textstyle“\slantfrac{1}{2}}\left|Ž¡{\,{\bbox–,Í\alpha}‘ Yš\kern“1ptD-{\bbox“d}(z)\,}“\right|^{5“/“3}}Ž¡\right],Ž¡\end{eqnarray}Ž¡where– Yš${C_n}^2(z)$“is–,Íthe“turbulenceŽ¡strength–,Ías“a“function“of“altitude;‘ Yš$k_0=2\kern“1pt\pi“/“\lambdaŽ¡,$› Yšwhere–,Í$\lambda“$“is“the“wavelength˜of“operation;“$D$“is“theŽ¡aperture–,Ídiameter;“and‘ Yš${\bbox“d}(z)$‘†gis“the“vector“displacementŽ¡of–,Íthe“two“paths.Ž¡¡The–,Ísums“of“the“terms“in‘ Yšbrackets“almost“cancel,“thus“causingŽ¡difficulties–,Íif“one“tries“to‘ Yševaluate“this“integral“numerically.Ž¡The–,Íterms“in“the“absolute-value‘ Yšsign“are“equal“toŽ¡\begin{eqnarray}\left|–,Í{\,{\bbox“\alpha}‘ Yš\kern“1ptD\pm“{\bboxŽ¡d}(z)\,}–,Í\right|^{5/“3}=\left[“{\left(“{\alpha“\kern‘ Yš1ptD}Ž¡\right)^2\pm–,Í2\alpha“\kern“1ptD\,d(z)\cos“\left(“\varphiŽ¡\right)+d^2(z)}–,Í\right]^{5/“6},\end{eqnarray}– Yšwhere“is–,Íthe“angleŽ¡between› Yš${\bbox–,Í\alpha}“$˜and˜${\bbox“d}(“z“)$“.‘³4ThisŽ¡expression–,Ícan“be“simplified“and‘ Yšthe“numerical“difficulties“can“beŽ¡eliminated–,Íby“using“Gegenbauer– Yšpolynomials.\cite{8}“TheirŽ¡generating–,Ífunction“is‘ Yš\begin{eqnarray}\left(“{1-2ax+a^2}Ž¡\right)^{-\lambda‘,Í}=\sum\limits_{p=0}^\infty‘ Yš{{C_p}^\lambdaŽ¡(x)\,a^p}.–,Í\end{eqnarray}‘†gThese“functions“are“sometimes“referredŽ¡to–,Ías“ultraspherical“functions“because“they“are“a“generalization“ofŽ¡the–,ÍLegendre“polynomials‘ Yš$P_n(t)$“,“whose“generating“function“isŽ¡\begin{eqnarray}\left(–,Í{1-“2ax+a^2}“\right)^{-1/Ž¡2}=\sum\limits_{p=0}^\infty‘ Yš{P_p(x)\,a^p}.\end{eqnarray}‘% ÎTheŽ¡Gegenbauer–,Ípolynomials“with“the“cosine“of“a“variable“as“theŽ¡argument–,Íare“given“in“Eq.“(8.934› Yš\#2)“of“Ref.“\onlinecite{8}˜andŽ¡can–,Íbe“rewritten“as‘ Yš\begin{eqnarray}{C_p}^\lambda“\left[“{\cosŽ¡\left(–,Í\varphi‘†g\right)}“\right]=\sum\limits_{m=0}^pŽ¡{}{{\Gamma\,\left[–,Í{\lambda“+m}‘ Yš\right]\,\Gamma\,\left[“{\lambdaŽ¡+p-m}–,Í\right]\cos“\left[“{(p-2m)\varphi“}‘ Yš\right]}“\overŽ¡{m!\,(p-m)!\,\left(–,Í{\Gamma\,\left[“\lambda‘ Yš\right]}Ž¡\right)^2}},\end{eqnarray}ŽŽŸ’çÛ7ŽŽŒ‹<Ï ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛwhere–Üß-“‘ÿþ[Ž‘CŠÜxÛ]ŽŽ‘Gis“the“gamma“function.‘ÞòA‘Üšparticular“Gegen¬rbauer“pSŽolynomial“that“is“requiredŽ©ÿZisŽ¤É ÜCŸÌÌÀ2ŽŽ‘ (Ÿú÷xÂÀ5Á=À6Ž‘#“Û[Ž‘&HcosŽ‘6u(Ü'Û)Ž‘FÙs]ŽŽ‘MrQ=‘JŸû¥2À5Ž‘NèÜ=‘þÓ0ŸÌÌÀ6ŽŽŽ‘Ÿôf`«hŽ‘ zúÛ1‘ª¨Ý‘j Ÿû¥2À1Ž‘¤>Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ3ŽŽŽ‘lÛcosŽ‘*ÒŸû ™À2Ž‘1’ÄÛ(Ž‘6$ˆÜ'Û)ŽŽŽ‘t÷Ÿôf`«iŽŽ‘{|™Ü:ŽŽ’Äü|Û(9)ŽŽŽŽ¡F‘ÿVor–á2Ü ‘D‘B>‘¬´dÛ(Üz‘ˆãÛ)“,‘^Õthe“terms“in“the“structure“function“can“bSŽe“expanded“in“Gegen¬rbauerŽ¦pšSŽolynomials.‘ UWThe–žÐzeroth-“and“all“o˜dd-order“terms“cancel.‘ UWWhen“the“summation“indexŽ¦is–ê¨cš¬rhanged“b˜y“the“substitution“Üp–URÝ!“Û2‘Üp–ê¨Ûthe“result“isŽ¡ÝDUVÛ(Ü ›DSŽÛ)–UR=“2(2Ü:Û91)‘ÿþÜkŸÌÌÀ0ŽŽ‘ ÜpŸúÕW2ŽŸï㈑U^Â1ŽŸx‘zŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘ã–À0ŽŽ‘&œ€ÛdÜz‘ˆáCŸÌÌÁnŽŽ‘™>Ÿú÷xÀ2Ž‘YBÛ(Üz–ˆãÛ)Ÿêÿô‘ÿþ«8ŽŸ ‘ÿþ<ŽŸ ‘ÿþ:ŽŽ‘ ãÜdŸû ™À5Á=À3Ž‘ @ Û(Üz“Û)–ª¨Ý“Û(Ü ˜DSŽÛ)Ÿû ™À5Á=À3ŽŸòÿý‘‘óÂ1ŽŸ ‘™Ÿõÿü«XŽŽŸ Ò‘@ ÁpÀ=1ŽŽ‘ cáÜCŸÌÌÀ2ÁpŽŽ‘1ÓOŸú÷xÂÀ5Á=À6Ž‘I¯ÏÛ[Ž‘Ló[cosŽ‘^®¯(Ž‘c@sÜ'Û)ŽŽŽ‘o„­]ŽŽŽ‘vÈ5Ÿîf\«"ŽŸ÷áÅ‘}пÜdÛ(Üz‘ˆãÛ)Ž‘}пŸQm‰fe<¿Ÿ  ‘MxÜ ˜DŽŽŽŽ’”@±Ÿîf\«#ŽŽ’šŸñ*¢À2ÁpŽŽŸêÿô’úí¿«9ŽŸ ’úí¿=ŽŸ ’úí¿;ŽŽŽ’ÑLÜ:ŽŽ’¿:VÛ(10)ŽŽŽŽŸ üIt–ò`is“this“canceling“of“the“ rst“t•¬rw“o–ò`terms“of“the“pSŽo•¬rw“er–ò`series“that“wš¬rould“cause“n˜umericalŽ¦diculties.Ž¦‘ŸôDe ne–ê¨a“distance“momen¬rt“asŽ¡ÜdŸÌÌÁmŽ‘ ZÝ‘URÛ2Ü:Û91‘ÿþÜkŸÌÌÀ0ŽŽ‘ ÜpŸúÕW2ŽŸï㈑U^Â1ŽŸx‘zŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘ã–À0ŽŽ‘&œ€ÛdÜz‘ˆáCŸÌÌÁnŽŽ‘™>Ÿú÷xÀ2Ž‘YBÛ(Üz–ˆãÛ)‘ÿþÜdŸû ™ÁmŽ‘ÄÛ(Üz“Û)ŽŽ’¿€(11)ŽŽŽŽŸ üand–ê¨a“phase“v‘ÿXäariance“asŽ¡ÜŸÌÌÁ'ŽŽ‘ ·¦Ÿû ™À2Ž‘ÌüÛ=‘URÜdŸÝßÀ5Á=À3Ž‘ @ Ü:ŽŽ’¿€Û(12)ŽŽŽŽ¡Unlik¬re–©«the“calculation“for“Strehl“ratio“for“uncorrected“turbulence“and“for“corrected“turbulenceŽ¦with–wtilt“jitter,‘;Nan“exact“analytical“solution“cannot“bSŽe“found“for“anisoplanatism.‘ïÐF–ÿVortunately“,Ž¦for–Ùþadaptivš¬re-optics“systems,‘ÝSthe“Strehl“ratio“should“bSŽe“fairly“high“b˜y“design,‘ÝSwhic˜h“requiresŽ¦the–¾Ýstructure“function“to“bSŽe“small.‘*GThis“assumption“allo¬rws“one“to“retain“only“the“ rst“termŽ¦of–ê¨the“Gegenš¬rbauer“expansion“to“giv˜eŽ¡ÝDUVÛ(Ü ‘DSŽÛ)–UR=“2ÜŸÌÌÁ'ŽŽ‘ ·¦Ÿû ™À2Ž‘"RÝ‘ª¨Û2Üx;ŽŽ’¿€Û(13)ŽŽŽŽ¡whereŽ¡Üx–URÛ=“ÜdŸÌÌÀ2Ž‘ÀŸôf`«hŽ‘ xæÛ1‘ª¨Ý‘j Ÿû¥2À1Ž‘¤>Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ3ŽŽŽ‘lÛcosŽ‘*ÒŸû ™À2Ž‘1’ÄÛ(Ž‘6$ˆÜ'Û)ŽŽŽ‘_Á£Ÿôf`«iŽŽ‘r:}Ÿû ™À5Ž‘stÜ=‘þÓ0ŸÌÌÀ6ŽŽ‘|çKÛ(Ü ‘DSŽÛ)Ÿû ™ÂÀ1Á=À3Ž‘Ü„Ü:ŽŽ’¿€Û(14)ŽŽŽŽ¡W‘ÿVe–justify“this“single-term“approš¬rximation“bSŽelo˜w“b˜y“sho˜wing“that“it“proSŽduces“a“result“closeŽ¦to–ê¨the“exact“result.Ž¦.–õT.“.Ž¦ŽŸ’ç8ŽŽŒ‹ HÆ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgáwhere–,Í-“$\Gamma\left[“x“\right]$‘ YšisŽ¤ ÿ­the–,Ígamma“function.› YšA“particular“Gegenbauer˜polynomial“that“isŽ¡required–,Íis‘ Yš\begin{eqnarray}{C_2}^{-5/“6}\left[“{\cos“(\varphi“)}Ž¡\right]={\textstyle{\slantfrac{5}{6}}}\left[–,Í{1-“{\textstyle{Ž¡\slantfrac{1}{3}}}\cos–,Í^2\left(“\varphi‘ Yš\right)}“\right].Ž¡\end{eqnarray}‘†gFor‘ Yš$\alpha–,Í\kern“1ptD>d(z)$“,“the“terms“in“theŽ¡structure–,Ífunction“can› Yšbe“expanded“in“Gegenbauer“polynomials.˜TheŽ¡zeroth-–,Íand“all“odd-order› Yšterms“cancel.˜When“the“summation“indexŽ¡is–,Íchanged“by“the“substitution› Yš$p\to“2\kern“1ptp$˜the“result“isŽ¡\begin{eqnarray}–,Í{\cal“D}(\alpha“\kernŽ¡1ptD)=2(2.91)\,{k_0}^2\int\limits_{\,\,\,‘,Í0}^{\,\,\,\,\,\,\infty}{\rmŽ¡d}z\,{C_n}^2(z)–,Í\left\{“{d^{5/‘ Yš3}(z)-“(\alpha“\kern“1ptD)^{5/Ž¡3}\sum\limits_{p=1}^\infty‘ Yš{{C_{2p}}^{-–,Í5/“6}\,\left[“{\cos“\left(Ž¡\varphi› Yš\right)}–,Í\right]}\,\left[“{{{d(z)}˜\over“{\alpha“\kernŽ¡1ptD}}}–,Í\right]^{2p}}“\right\}.\end{eqnarray}“It“is“this‘ YšcancelingŽ¡of–,Íthe“first“two“terms“of“the“power“series“that“would“causeŽ¡numerical‘,Ídifficulties.Ž¡¡Define–,Ía“distance“moment“asŽ¡\begin{eqnarray}d_m\equiv‘ Yš2.91\,{k_0}^2\int\limits_{\,\,\,Ž¡0}^{\,\,\,\,\,\,\infty}{\rm–,Íd}z\,{C_n}^2(z)\,d^m(z)“\end{eqnarray}Ž¡and–,Ía“phase“variance“as‘ Yš\begin{eqnarray}{\sigma“_\varphi}^2=d_{5/Ž¡3}.\end{eqnarray}‘³4Unlike–,Íthe“calculation“for“Strehl“ratio“forŽ¡uncorrected‘ Yšturbulence–,Íand“for“corrected“turbulence“with“tiltŽ¡jitter,–,Ían“exact‘ Yšanalytical“solution“cannot“be“found“forŽ¡anisoplanatism.– YšFortunately,“for–,Íadaptive-optics“systems,“theŽ¡Strehl–,Íratio“should“be“fairly“high“by‘ Yšdesign,“which“requires“theŽ¡structure–,Ífunction“to“be“small.– YšThis“assumption–,Íallows“one“toŽ¡retain–,Íonly“the“first“term“of“the“Gegenbauer‘ Yšexpansion“to“giveŽ¡\begin{eqnarray}{\cal–,ÍD}(\alpha“\kern‘ Yš1ptD)=2{\sigmaŽ¡_\varphi}^2-2x,\end{eqnarray}‘,ÍwhereŽ¡\begin{eqnarray}x=d_{2}\left[‘,Í{1-Ž¡{\textstyle{\slantfrac{1}{3}}}\cos–,Í^2\left(“\varphi‘ Yš\right)}Ž¡\right]{\slantfrac{5}{6}}(\alpha–,Í\kern“1ptD)^{-1/“3}.\end{eqnarray}Ž¡–,ÍWe“justify“this“single-term“approximation“below“by“showing“that“itŽ¡produces–,Ía“result“close“to“the“exact“result.“\\‘% Î\ldots“\\Ž¡ŽŸ’çÛ9ŽŽŒ‹ S‡ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛThe–ê¨Strehl“ratio“with“the“six“term“appro¬rximation“isŽ¤!ó¢SRŽ‘‚ÝŸ÷áÅ‘ˆ…ÛexpŽ‘|(Ž‘ ÉÝÜŸÌÌÁ'ŽŽ‘3ÆŸû¥2À2Ž‘7ÚÊÛ)ŽŽŽ‘ˆ…ŸQm‰fe7ä Ÿ  ‘uÄ2ÜŽŽŽŽ‘?Ÿ¿Ÿñ㇫ZŽ‘KŸ¾ÛdëT ŽŽ‘ ±ÛK(Ü Û)Ž‘u:NŸîf\« Ž‘}$úÛ1–ª¨+“Üx“Û+Ÿ÷áÅ‘ÝÛÜxŸû¥2À2ŽŽ‘ÝÛŸQm‰fe mVŸ  ‘Æ­Û2ŽŽŽŽ–) +Ÿ÷áÅ‘ÝÛÜxŸû¥2À3ŽŽ‘ÝÛŸQm‰fe mVŸ  ‘Æ­Û6ŽŽŽŽ“+Ÿ÷áÅ‘,ÜxŸû¥2À4ŽŽ‘ÝÛŸQm‰fe ¿øŸ  Û24ŽŽŽŽ‘{®+Ÿ÷áÅ‘÷*ÜxŸû¥2À5ŽŽ‘ÝÛŸQm‰feŸôŸ  Û120ŽŽŽŽŽ’â°Ÿîf\«!ŽŽ’ÍZÜ:ŽŽ’¿€Û(15)ŽŽŽŽ¡If–ájust“the“ rst“term“in“the“last“parenš¬rthetical“expression“is“retained,‘âúthe“result“is“equiv‘ÿXäalen˜tŽ¤ÿZto–jthe“extended“Mar•¬r‘ús’ec“hal›jappro“ximation.‘ívIt˜is˜sho“wn˜bSŽelo“w˜that˜the˜six-term˜appro“ximationŽ¡is–OmbšSŽest“for“ap˜erture“sizes“normally“encounš¬rtered.‘g/The“angle“in˜tegral“for“the“ÜnÛth“term,‘hžafterŽ¡use–ê¨of“the“binomial“theorem,“is“propSŽortional“toŽ©(I«(ÜnÛ)‘UR=Ÿ÷áÅ‘È1Ž‘ˆ…ŸQm‰fe øŸ  2ÜŽŽŽŽŸï㈑"B{À2ÁŽŸx‘nŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘ÛŠÀ0ŽŽ‘+t£ÛdÜ'‘ÿüŸôf`«hŽ‘¸àÛ1‘ª¨Ý‘j Ÿû ™À1Ž‘¤>Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ3ŽŽ‘5°GÛcosŽ‘EkŸû ™À2Ž‘L+ŸÛ(Ž‘P½cÜ'Û)ŽŽ‘]Ÿôf`«iŽŽ‘aºŸ÷*¦ÁnŽ‘j¸#Û=Ÿ÷áÅ‘È1Ž‘ˆ…ŸQm‰fe øŸ  2ÜŽŽŽŽŸòÿý‘P¯ÁnŽŸ ‘«óŸõÿü«XŽŽŸ Ò‘´7ÁmÀ=0ŽŽŸåfV‘)u«0ŽŸ™¦‘)uBŽŸ‘)uBŽŸfi‘)u@ŽŽŸõÌú‘ANTÜnŽŽ¡‘4Õvn–ª¨Ý“ÜmŽŽŽŸåfV‘WÊ»«1ŽŸ™¦‘WÊ»CŽŸ‘WÊ»CŽŸfi‘WÊ»AŽŽŽŽ‘bŠºÛ3Ÿû ™ÂÁmŽŸï㈑Z&À2ÁŽŸx‘–ÅŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘]áÀ0ŽŽ‘$ŒNÛdÜ'Ž‘6ÅØÛcosŽ‘F.Ÿû ™À2ÁmŽ‘TÅôÛ(Ž‘YW¸Ü'Û)ŽŽ‘g›ðÜ;ŽŽ’¿€Û(16)ŽŽŽŽŸD讟åfV«0ŽŸ™¦BŽŸBŽŸfi@ŽŽŸõÌú‘8ßÜnŽŽ¡‘ Àn–ª¨Ý“ÜmŽŽŽŸåfV‘.µF«1ŽŸ™¦‘.µFCŽŸ‘.µFCŽŸfi‘.µFAŽŽŽ‘:Ê™Û=Ÿ÷áÅ‘XvÜnÛ!Ž‘ˆ…ŸQm‰fe=æöŸ  (Ž‘‘ÄÜn–ª¨Ý“ÜmŽ‘$‡ Û)ŽŽ‘)Í!‘ÿüÜmÛ!ŽŽŽŽ‘C¢®Ü:ŽŽ’¿€Û(17)ŽŽŽŽŸ)vøEquation–ê¨(4.641“#“4)“in“Gradsh¬rteyn“and“RyzhikŸû¥2À8Ž‘ª¬ÛisŽŸ&-3ŸîÇ‘ ¸ìÁI{=À2ŽŸ8ë‘Ÿñ㇫ZŽŽŸî÷‘Ü©À0ŽŽ‘+ÛdÜ'Ž‘*d¢ÛcosŽ‘:øŸû ™À2ÁmŽ‘Hd¾Û(Ž‘Lö‚Ü'Û)ŽŽ‘\=Ÿ÷áÅ‘ˆ…Ün9Û(2Üm–ª¨Ý“Û1)!!Ž‘ˆ…ŸQm‰fe;tÙŸ  ‘ á–2(2ÜmÛ)!!ŽŽŽŽ‘A0‘Ü;ŽŽ’¿€Û(18)ŽŽŽŽŸ#8“whereŽ¤!ó¢(2Üm–ª¨Ý“Û1)!!ŽŽ‘7±¦=ŽŽ‘D*€(2Üm–ª¨Ý“Û1)(2Üm“Ý“Û3)–ÿþÜ:“:“:Ž‘ÊœÛ(3)(1)Ü;ŽŽ’¿€Û(19)ŽŽŽŽŸÿZ‘Š£(2ÜmÛ)!!ŽŽ‘7±¦=ŽŽ‘D*€(2ÜmÛ)(2Üm–ª¨Ý“Û2)–ÿþÜ:“:“:Ž‘ÊœÛ(4)(2)Ü:ŽŽ’¿€Û(20)ŽŽŽŽ¡With–ê¨these“relations,“the“angle“in¬rtegral“is“equal“toŽ¦(ÜnÛ)–UR=“1–ª¨ÝŸòÿý‘ G ÁnŽŸ ‘¢dŸõÿü«XŽŽŸ Ò“ÁmÀ=1ŽŽŸåfV‘ æ«0ŽŸ™¦‘ æBŽŸ‘ æBŽŸfi‘ æ@ŽŽŸõÌú‘/DÅÜnŽŽŸÿZ‘"Ëçn“Ý“ÜmŽŽŽŸåfV‘EÁ,«1ŽŸ™¦‘EÁ,CŽŸ‘EÁ,CŽŸfi‘EÁ,AŽŽŽŽ‘P+Û3Ÿû ™ÂÁmŽŸ÷áÅ‘ÔoÛ(2Üm“Ý“Û1)!!Ž‘ÔoŸQm‰fe4\TŸ  ‘ ER(2ÜmÛ)!!ŽŽŽŽ‘EcöÜ:ŽŽ’¿€Û(21)ŽŽŽŽŸ(ôWThe–¬°v‘ÿXäalues“of“in¬rterest“to“us“are“(0)–Ÿ–=“1,›Ý2(1)“=“0Ü:Û8333,˜(2)“=“0Ü:Û7083,˜(3)“=“0Ü:Û6134,Ž¤ÿZ(4)–UR=“0Ü:Û5404,‘-¦and›þf(5)“=“0Ü:Û4836.‘êThe˜ap•SŽerture˜in¬rtegration˜for˜the˜ÜnÛth˜term˜is˜prop“ortionalŽ¡toŽŸ!ó¢ÜY‘œpÛ(ÜnÛ)‘UR=Ÿï㈑>À1ŽŸx‘µXŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘|tÀ0ŽŽ‘\ÛdÜ Ž‘"): Ÿû ™À1ÂÁn=À3Ž‘cÜK‘ÜžÛ(Ü Û)Ü:ŽŽ’¿€Û(22)ŽŽŽŽŽŸ’ä 10ŽŽŒ‹ \à¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­áTheŽ¡Strehl–,Íratio“with“the“six“term“approximation“isŽ¡\begin{eqnarray}{\rm‘†gSR}–,Í\approx‘ Yš{{\exp“\left(“{-\sigmaŽ¡_\varphi}–,Í^2“\right)}“\over“{2\pi“}}\int“{\rm“d{\bbox‘ Yš\alpha}Ž¡\,K(\alpha–,Í)\,}\kern-.5em\left(“{1+x+{{x^2}“\over“2}+{{x^3}“\over“6}+{{x^4}Ž¡\over–,Í{24}}+{{x^5}“\over“{120}}}“\right).\end{eqnarray}Ž¡If‘,ÍjustŽ¡the› Yšfirst–,Íterm“in“the“last“parenthetical“expression˜is“retained,Ž¡the–,Íresult“is“equivalent“to‘ Yšthe“extended“Mar\'{e}chalŽ¡approximation.› YšIt–,Íis“shown“below“that“the“six-term˜approximationŽ¡is–,Íbest“for“aperture“sizes“normally“encountered.‘†gThe“angleŽ¡integral–,Ífor“the“$n$th“term,“after“use“of“the“binomial“theorem,‘ YšisŽ¡proportional‘,ÍtoŽ¡\begin{eqnarray}\Phi–,Í(n)={1“\over“{2\piŽ¡}}\int\limits_{\,\,\,–,Í0}^{\,\,\,\,\,\,\,\,“2\pi“}“{\rm“d}\varphi“\,\left[Ž¡{1-\slantfrac{1}{3}}–,Í\cos“^2\left(“\varphi‘ Yš\right)“\right]^n={1Ž¡\over–,Í{2\pi‘ Yš}}\sum\limits_{m=0}^n“{\left(“\begin{array}{c}“n“\\Ž¡n-m\end{array}‘ Yš\right)}\,3^{-m}\int\limits_{\,\,\,–,Í0}^{\,\,\,\,\,\,“2\piŽ¡}–,Í{\rm“d\varphi“}\,“\cos“^{2m}\left(“\varphiŽ¡\right),\end{eqnarray}Ž¡\begin{eqnarray}\left(Ž¡\begin{array}{c}–,Ín“\\“n-m“\end{array}“\right)={{n!}“\over“{\left(Ž¡{n-m}‘,Í\right)!\,\,m!}}.\end{eqnarray}Ž¡Equation–,Í(4.641“\#“4)“inŽ¡Gradshteyn‘ Yšand–,ÍRyzhik\cite{8}“isŽ¡\begin{eqnarray}\int\limits_{\,\,\,–,Í0}^{\,\,\,\,\,\,“\pi“/‘ Yš2}{\rmŽ¡d\varphi–,Í\,}\cos“^{2m}\left(“\varphi‘ Yš\right)={{\pi“(2m-1)!!}“\overŽ¡{2(2m)!!}},\end{eqnarray}Ž¡whereŽ¡\begin{eqnarray}(2m-1)!!&=&(2m-1)(2m-3)\ldots–,Í(3)(1),“\\Ž¡(2m)!!&=&(2m)(2m-2)\ldots‘,Í(4)(2).\end{eqnarray}Ž¡With‘,ÍtheseŽ¡relations,–,Íthe“angle“integral“is“equal“toŽ¡\begin{eqnarray}\Phi–,Í(n)=1-\sum\limits_{m=1}^n“{\left(Ž¡\begin{array}{c}n–,Í\\‘ Yšn-m“\end{array}“\right)}\,3^{-m}{{(2m-1)!!}Ž¡\over‘,Í{(2m)!!}}.\end{eqnarray}Ž¡The–,Ívalues“of“interest“to“us“areŽ¡$\Phi–,Í(0)“=“1$,“$\Phi“(1)“=“0.8333$,“$\Phi“(2)“=“0.7083$,“$“\PhiŽ¡(3)–,Í=“0.6134$,“$\Phi“(4)“=“0.5404$,“and‘ Yš$\Phi“(5)“=“0.4836$.‘†gTheŽ¡aperture–,Íintegration“for“the“$n$th“term“is“proportional“toŽ¡\begin{eqnarray}Y(n)=\int\limits_{\,\,\,–,Í0}^{\,\,\,\,\,\,“1}“{\rm“d\alphaŽ¡\,}\alpha–,Í^{1-n/“3}K(\alpha“).\end{eqnarray}Ž¡ŽŸ’ä Û11ŽŽŒ‹ h頯ý7g ªî™ ýxg×3.Ž‘–“DISPLA¦tCEMENT‘2ANISOPLANA‘þó\TISMŽŸ%ÏÞÛIn–÷ãthe“simplest“case“of“displacemenš¬rt“anisoplanatism,‘;2whic˜h“w˜as“treated“in“Section“2,‘;2theŽ¤ÿZdisplacemenš¬rt–jais“constan˜t“along“the“propagation“direction.‘ ¸ The“terms“to“use“to“ nd“theŽ¡Strehl–ê¨ratio“areŽ©!5ÜdÛ(Üz‘ˆãÛ)ŽŽ‘’=ŽŽ‘% ëÜd;ŽŽ’¿€Û(23)ŽŽŽŽ¤ÿZ‘÷ Üd‘j¬ŸÌÌÀ2ŽŽŽ‘’Û=ŽŽ‘% ë2Ü:Û91‘ÿþÜkŸû ™gÀ2ŽŸëÚ0ŽŽ‘'ÜŸÌÌÀ0Ž‘ÀÜdŸû ™À2Ž‘ÀÜ;ŽŽ’¿€Û(24)ŽŽŽŽ¡‘ ÖÜEŽ‘’Û=ŽŽ‘% ë6Ü:Û88‘ÿüŸîf\« ŽŸ÷áÅ‘ÞÜdŽ‘ ÛŸQm‰fe Ÿ  DŽŽŽŽ‘fŸîf\«!ŽŽ‘ PÁŸñ*¢À2Ž‘'ßñf^«ŽŸ÷áÅ‘/ jÜDŽ‘/ jŸQm‰fe Ÿ  ÞrŸÌÌÁoŽŽŽŽŽ‘:褟ñf^«ŽŽ‘BEŸòÙ=À5Á=À3Ž‘Q…"Ü;ŽŽ’¿€Û(25)ŽŽŽŽŸ$Õh‘…ÜŸû ™n9À2ŽŸëÚÁ'ŽŽŽŽ‘’Û=ŽŽ‘% ë2Ü:Û91‘ÿþÜkŸû ™gÀ2ŽŸëÚ0ŽŽ‘'ÜŸÌÌÀ0Ž‘ÀÜdŸû ™À5Á=À3Ž‘•^Û=‘UR6Ü:Û88‘ÿüŸîf\« ŽŸ÷áÅ‘ÜdŽ‘ ÛŸQm‰fe çKŸ  rŸÌÌÁoŽŽŽŽŽ‘8YŸîf\«!ŽŽ‘ #Ÿñ*¢À5Á=À3Ž‘/cÜ:ŽŽ’¿€Û(26)ŽŽŽŽ¦‘ŸôThe–ê¨Strehl“ratios“are“plotted“in“Figs.“2“and‘ÕP3.Ž¤/+î×4.Ž‘–“ANGULAR‘2ANISOPLANA‘þó\TISMŽ©%ÏÞÛWhen–½Uthe“propagation“bSŽeam“is“o set“bš¬ry“a“constan˜t“angle“from“the“direction“along“whic˜hŽŸÿZturbulence–ê¨is“measured,“the“e ect“is“called“angular“anisoplanatism.Ÿû¥2À4Ž‘ª¬Û.–õT.“.Ž¡×5.Ž‘–“TIME‘2DELA‘þó\YŽ¦ÛIf–q#there“is“a“time“delaš¬ry“bSŽet˜w˜een“when“turbulence“is“measured“and“when“a“correction“isŽ¤ÿZapplied–îõto“the“deformable“mirror,‘ð there“is“a“degradation“in“pSŽerformance.Ÿû¥2À7Ž‘®ùÛThis“e ect“is“notŽ¡often–ê¨thoughš¬rt“of“as“an“anisoplanatic“e ect;“ho˜w˜ev˜er,“it“can“bSŽe“treated“as“suc˜h.‘8à...ŽŸ!5ÜdÛ(Üz‘ˆãÛ)ŽŽ‘’=ŽŽ‘% ëÜvn9Û(Üz‘ˆãÛ)Ü‘°;ŽŽ’¿€Û(27)ŽŽŽŽŸ“ï‘ a¹ÜdŸÌÌÀ2ŽŽŽ‘’Û=ŽŽ‘% ë2Ü:Û91–ÿþÜkŸû ™gÀ2ŽŸëÚ0ŽŽŸï㈑à ÁLŽŸx‘ KŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘ +À0ŽŽ‘nýÛdÜz‘ˆáCŸÌÌÁnŽŽ‘™>Ÿú÷xÀ2Ž‘YBÛ(Üz›ˆãÛ)“Üvn9Ÿû ™À2Ž‘.=Û(Üz˜Û)“Ü‘WŸû ™À2Ž‘ lsÛ=‘UR(Ž‘çÜ‘W=ŸÌÌÀ2ŽŽ‘ËÛ)ŽŽ‘"¤Ÿú*«À2Ž‘)d‘Ü;ŽŽ’¿€Û(28)ŽŽŽŽŸ%Ó‘ ÖÜEŽ‘’Û=ŽŽŸ÷áÅ‘1è¨Ü‘WŸû¥2À2ŽŽ‘&>ŸQm‰fe"†€Ÿ  ÜŸûÝß‘WÀ2ŽŸÁg2ŽŽ‘!ÜDSŽŸüˆ‰À1Á=À3ŽŽŽŽŽ‘I÷ÑÜ;ŽŽ’¿€Û(29)ŽŽŽŽŸ%ns‘…ÜŸû ™n9À2ŽŸëÚÁ'ŽŽŽŽ‘’Û=ŽŽ‘% ë2Ü:Û91–ÿþÜkŸû ™gÀ2ŽŸëÚ0ŽŽŸï㈑à ÁLŽŸx‘ KŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘ +À0ŽŽ‘nýÛdÜz‘ˆáCŸÌÌÁnŽŽ‘™>Ÿú÷xÀ2Ž‘YBÛ(Üz›ˆãÛ)“Üvn9Ÿû ™À5Á=À3Ž‘ ®EÛ(Üz˜Û)“Ü‘WŸû ™À5Á=À3Ž‘ì{Û=‘URŸôf`«Ž‘ N6Ü‘W=ŸÝßÀ5Á=À3ŽŽ‘'ùóŸôf`«ŽŽ‘-òן÷*¦À5Á=À3Ž‘=2áÜ;ŽŽ’¿€Û(30)ŽŽŽŽŽŸ’ä 12ŽŽŒ‹ r ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\section{–,ÍDISPLACEMENT“ANISOPLANATISM}Ž¡\label{da}Ž¡In–,Íthe“simplest“case“of“displacement‘ Yšanisoplanatism,“which“wasŽ¡treated–,Íin“Section“\ref{SR},“the“displacement“is‘ Yšconstant“alongŽ¡the–,Ípropagation“direction.› YšThe“terms“to“use“to“find“the˜StrehlŽ¡ratio‘,Íare– Yš\begin{eqnarray}“d(z)&=&d“,“\\Ž¡d_{\,2}&=&2.91\,k_0^2\,\mu–,Í_0\,d^2‘ Yš,‘à\\“E&=&6.88\,\left(“{{dŽ¡\over–,ÍD}}“\right)^2\left(› Yš{{D“\over“{r_o}}}“\right)^{5/3}˜,Ž¡–,Í\\“\sigma“_\varphi“^2&=&2.91\,k_0^2\,\mu“_0\,d^{5/3}=6.88\,“\left(Ž¡{{d–,Í\over“{r_o}}}“\right)^{5/3}– Yš.“\end{eqnarray}Ž¡¡The‘,ÍStrehlŽ¡ratios–,Íare“plotted“in“Figs.~\ref{f5}‘ Yšand“~\ref{f10}.Ž¡¡\section{–,ÍANGULAR“ANISOPLANATISM}Ž¡\label{aa}Ž¡When–,Íthe“propagation“beam“is“offset“by“a‘ Yšconstant“angle“from“theŽ¡direction–,Íalong“which“turbulence“is“measured,‘ Yšthe“effect“is“calledŽ¡angular–,Íanisoplanatism.\cite{4}“\ldotsŽ¡¡\section{–,ÍTIME“DELAY}Ž¡\label{td}Ž¡If–,Íthere“is“a“time“delay‘ Yšbetween“when“turbulence“is“measured“andŽ¡when–,Ía“correction“is“applied“to“the“deformable“mirror,“there“is‘ YšaŽ¡degradation–,Íin“performance.\cite{7}‘ YšThis“effect“is“not“oftenŽ¡thought–,Íof‘ Yšas“an“anisoplanatic“effect;“however,“it“can“be“treatedŽ¡as‘,Ísuch.‘ Yš...Ž¡¡\begin{eqnarray}–†gd(z)&=&v(z)\tau“,‘ Yš\\Ž¡d_2&=&2.91\,k_0^2\int\limits_{\,\,\,–,Í0}^{\,\,\,\,\,\,“L}“{\rmŽ¡d}z\,{C_n}^2(z)\,v^2(z)\,\tau–,Í^2=\left(‘ Yš{\tau“/“\tau“_2}“\right)^2Ž¡,‘†g\\‘³4E&=&{{\tau–,Í^2}“\over“{\tau“_2^2D^{1/“3}}}– Yš,“\\“\sigmaŽ¡_\varphi–,Í^2&=&2.91\,k_0^2\int\limits_{\,\,\,“0}^{\,\,\,\,\,\,“L}‘ Yš{\rmŽ¡d}z\,{C_n}^2(z)\,v^{5/–,Í3}(z)\,\tau“^{5/“3}=\left(“{\tau“/“\tau“_{5/Ž¡3}}–,Í\right)^{5/“3}‘ Yš,‘†g\end{eqnarray}Ž¡ŽŸ’ä Û13ŽŽŒ‹{ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛwhere–ê¨the“tempSŽoral“momen¬rt“is“de ned“asŽŸ%éC1Ü=Ÿû ™‘WÀ5Á=À3ŽŸëÚÁmŽŽ‘ì{Û=‘UR2Ü:Û91–ÿþÜkŸû ™gÀ2ŽŸëÚ0ŽŽŸï㈑à ÁLŽŸx‘ KŸñ㇫ZŽŽŸî÷‘ +À0ŽŽ‘nýÛdÜz‘ˆáCŸÌÌÁnŽŽ‘™>Ÿú÷xÀ2Ž‘YBÛ(Üz›ˆãÛ)“Üvn9Ÿû ™ÁmŽ‘rýÛ(Üz˜Û)Ü:ŽŽ’¿€Û(31)ŽŽŽŽŸ#ÿZ.–õT.“.Ž©.Â×6.Ž‘–“CHR¦tOMA–þó\TIC‘2ANISOPLANA“TISMŽŸ&9MÛIf–Iéthe“bšSŽeacon“b˜eam“that“senses“the“turbulence“has“a“w•¬ra“v“elength›Iédi eren“t˜from˜that˜of˜theŽ¤ÿZlaser–^œbSŽeam“that“is“senš¬rt“out,‘»™then“the“t˜w˜o“bSŽeams“will“follo˜w“di eren˜t“paths“through“theŽ¡atmosphere–ê¨bšSŽecause“of“the“disp˜ersiv¬re“prop˜erties“of“the“atmosphere.‘8à.–õT.“.Ž¦×7.Ž‘–“COMBINED‘2DISPLA¦tCEMENTŽŸ&9MÛIf–tÂthere“are“sevš¬reral“anisoplanatic“e ects“presen˜t,‘—Iwith“eac˜h“not“decreasing“the“Strehl“ratioŽ¡m•¬ruc“h,‘ù[it–ökis“a“common“practice“to“m¬rultiply“the“Strehl“ratios“for“the“individual“e ects“to“getŽ¡a–ê¨com¬rbined“Strehl“ratio.‘8à.–õT.“.Ž¤#ÿZÃÔdŽ< dŽôž‡´dŽŽ‘‡ ŸÌÌÁtŽ‘ ÖÛ(Üz–ˆãÛ)‘UR=‘&dŽ‘‘rdŽ‘UFž‡´dŽŽ‘ ‡+‘ª¨ëTŽŽ‘ Ê¥Üz‘3‹Û+‘n|vŽ‘æÈvŽ‘ªœž‡´vŽŽ‘Þ&(Üz“Û)Ü‘ÅÛ+‘n|dŽ‘æÈdŽ‘ªœž‡´dŽŽ‘ 1´ŸÌÌÁcŽ‘ `-Û(Üz“Û)Ü;ŽŽ’¿€Û(32)ŽŽŽŽ¡where–ž²cš¬rhromatic“displacemen˜t“is“giv˜en“in“Eq.–Ž(50).“The–ž²t˜w˜o“terms“necessary“for“calculatingŽŸÿZthe–ê¨Strehl“ratio“are“.–õT.“.ŽŽŸ’ä 14ŽŽŒ‹ƒ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgáwhere–,Íthe“temporal“moment“isŽ¤ ÿ­defined›,Ías– Yš\begin{eqnarray}“1/˜\tau˜_m^{5/Ž¡3}=2.91\,k_0^2\int\limits_{\,\,\,–,Í0}^{\,\,\,\,\,\,“L}‘ Yš{\rmŽ¡d}z\,{C_n}^2(z)\,v^m(z)‘ Yš.‘†g\end{eqnarray}Ž¡\ldotsŽ¡¡\section{–,ÍCHROMATIC“ANISOPLANATISM}Ž¡\label{ca}Ž¡If–,Íthe“beacon“beam“that“senses“the‘ Yšturbulence“has“a“wavelengthŽ¡different–,Ífrom“that“of“the“laser“beam“that‘ Yšis“sent“out,“then“theŽ¡two–,Íbeams“will“follow“different“paths“through“the‘ YšatmosphereŽ¡because–,Íof“the“dispersive“properties“of“the“atmosphere.“\ldotsŽ¡¡\section{–,ÍCOMBINED“DISPLACEMENT}Ž¡\label{cd}Ž¡If–,Íthere“are“several“anisoplanatic‘ Yšeffects“present,“with“each“notŽ¡decreasing–,Íthe“Strehl“ratio“much,“it“is“a‘ Yšcommon“practice“toŽ¡multiply–,Íthe“Strehl“ratios“for“the“individual“effects‘ Yšto“get“aŽ¡combined–,ÍStrehl“ratio.“\ldotsŽ¡\begin{eqnarray}Ž¡{\rm–,Í\pmb{d}}_t(z)={\rm‘ Yš\pmb{d}}+{“\rm“\bbox{Ž¡\theta}}–,Í\kern“1ptz+{\rm“\pmb{v}}(z)\tau“+{\rm– Yš\pmb{d}}_c(z)“,Ž¡\end{eqnarray}–,Íwhere“chromatic“displacement“is“given“in“Eq.“(50).Ž¡The–,Ítwo“terms‘ Yšnecessary“for“calculating“the“Strehl“ratio“areŽ¡\ldotsŽ¡ŽŸ’ä Û15ŽŽŒ‹ˆ‡ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg×8.Ž‘–“SUMMAR‘þó\YŽ©&9MÛAn–rFapproš¬rximate“expression“for“the“Strehl“ratio“that“is“easily“ev‘ÿXäaluated“for“an˜y“turbulenceŽ¤ÿZdistribution–¸3wš¬ras“deriv˜ed.›¡‚It“applies“for“v‘ÿXäarious“anisoplanatic“e ects.˜This“expression“w¬rasŽ¡shoš¬rwn–¨Cto“giv˜e“m˜uc˜h“bSŽetter“agreemen˜t“with“the“exact“answ˜er“than“the“extended“Marec˜halŽ¡approš¬rximation.‘ »~The–k‡zenith“depSŽendence“is“included“in“the“form˜ula.‘ »~This“appro˜ximationŽ¡wš¬ras–Êapplied“to“parallel“path“displacemen˜ts,›$Rangular“o sets,˜time-dela¬ry“induced“o sets,˜andŽ¡o sets–6œoš¬rwing“to“refractiv˜e“e ects“that“v‘ÿXäary“with“w˜a˜v˜elength.‘ ½Examples“for“eac˜h“t˜ypSŽe“ofŽ¡anisoplanatism–ê¨at“v›ÿXäarious“zenith“angles“w¬rere“ev˜aluated.Ž¡‘ŸôThe–"kStrehl“ratio“in“the“presence“of“sevš¬reral“e ects“w˜as“examined.‘à*It“w˜as“sho˜wn“that,Ž¡depSŽending–…÷on“the“direction“of“the“relativš¬re“displacemen˜ts,‘¬Êone“can“get“a“cancellation“or“anŽ¡enhancemenš¬rt–¤ of“the“e ect“of“the“displacemen˜ts.‘!WTherefore“it“is“pšSŽossible“for“there“to“b˜e“littleŽ¡reduction–¼in“the“Strehl“ratio“if“there“is“little“net“path“displacemenš¬rt.‘­If“the“displacemen˜tsŽ¡are–•¢in“the“same“direction,‘¦£the“Strehl“ratio“is“less“than“the“proSŽduct“of“the“Strehl“ratios“of“theŽ¡individual‘ê¨terms.ŽŸ.Â×A•¦tCKNO“WLEDGMENTSŽ¦ÛThis–“Uresearcš¬rh“w˜as“spSŽonsored“b˜y“the“Strategic“Defense“Initiativ˜e“Organization“through“theŽ¡U.S.–ê¨Departmen¬rt“of“the“Air“F‘ÿVorce.ŽŽŸ’ä 16ŽŽŒ‹S ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\section{‘,ÍSUMMARY}Ž¡\label{Su}Ž¡An–,Íapproximate“expression“for“the“Strehl“ratio“that“is‘ YšeasilyŽ¡evaluated–,Ífor“any“turbulence“distribution“was“derived.– YšIt“appliesŽ¡for–,Ívarious“anisoplanatic“effects.‘ YšThis“expression“was“shown“toŽ¡give–,Ímuch“better“agreement“with“the“exact“answer“than“the“extendedŽ¡Marechal–,Íapproximation.‘ YšThe“zenith“dependence“is“included“in“theŽ¡formula.‘ YšThis–,Íapproximation“was“applied“to“parallel“pathŽ¡displacements,‘ Yšangular–,Íoffsets,“time-delay“induced“offsets,“andŽ¡offsets–,Íowing“to‘ Yšrefractive“effects“that“vary“with“wavelength.Ž¡Examples–,Ífor“each“type“of‘ Yšanisoplanatism“at“various“zenith“anglesŽ¡were‘,Íevaluated.Ž¡¡The‘ YšStrehl–,Íratio“in“the“presence“of“several“effects“was“examined.Ž¡It–,Íwas‘ Yšshown“that,“depending“on“the“direction“of“the“relativeŽ¡displacements,‘ Yšone–,Ícan“get“a“cancellation“or“an“enhancement“of“theŽ¡effect–,Íof“the– Yšdisplacements.“Therefore–,Íit“is“possible“for“thereŽ¡to–,Íbe“little‘ Yšreduction“in“the“Strehl“ratio“if“there“is“little“netŽ¡path–,Ídisplacement.‘†gIf“the“displacements“are“in“the“sameŽ¡direction,–,Íthe“Strehl“ratio“is“less‘ Yšthan“the“product“of“the“StrehlŽ¡ratios–,Íof“the“individual“terms.Ž¡¡\acknowledgments–,ÍThis“research“was‘ Yšsponsored“by“the“StrategicŽ¡Defense–,ÍInitiative“Organization“through“the‘ YšU.S.“Department“of“theŽ¡Air‘,ÍForce.Ž¡ŽŸ’ä Û17ŽŽŒ‹“_ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgó<ÂÖN ff cmbx12çREFERENCESŽŸ$ÿZ‘ßüÛ1Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–ÕÉBelsher“and“D.“F‘ÿVried,›Ùö\Chromatic“refraction“induced“pseudo“anisoplanatism,"˜tOSCŽ¤ÿZ‘~Rep.–ê¨TR-433“(Optical“Sciences“Co.,“Placen¬rtia,“Calif.,“1981).Ž©ÿZ‘ßü2Ü:ŽŽŽ‘~ÛB.–;CL.“EllerbrošSŽek“and“P‘ÿV.“H.“Rob˜erts,‘i\T‘ÿVurbulence“induced“angular“separation“errors;Ž¡‘~expšSŽected–ÏŒv‘ÿXäalues“for“the“SOR-2“exp˜erimen¬rt,"‘ÔøtOSC‘Ï…Rep.“TR-613“(Optical“Sciences“Co.,Ž¡‘~Placen¬rtia,–ê¨Calif.,“1984).Ž¦‘ßü3Ü:ŽŽŽ‘~ÛD.–t„L.“F›ÿVried,‘Œ%\Di eren¬rtial“angle“of“arriv–ÿXäal:‘ýÎtheory˜,›Œ%ev“aluation,˜and–t„measuremen¬rt“feasibil-Ž¡‘~it¬ry‘ÿV,"–ê¨Radio“Sci.“à10,“Û71-76“(1975).Ž¦‘ßü4Ü:ŽŽŽ‘~ÛD.–ê¨F‘ÿVried,“\Anisoplanatism“in“adaptiv¬re“optics,"“J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“à72,“Û52-61“(1982).Ž¦‘ßü5Ü:ŽŽŽ‘~ÛD.–‹Kor ,›Ê‘G.“Druden,˜and“R.“P‘ÿV.“Lea•¬rvitt,˜\Isoplanicit“y:‘$Òthe–‹translation“in¬rv‘ÿXäariance“of“theŽ¡‘~atmospheric–ê¨Green's“function,"“J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“à65,“Û1321-1330“(1975).Ž¦‘ßü6Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–\ÂH.“Shapiro,‘yH\P•¬roin“t-ahead–\Âlimitation“on“reciproSŽcitš¬ry“trac˜king,"‘yHJ.“Opt.“SoSŽc.“Am.“à65,Ž¡‘~Û65-68‘ê¨(1975).Ž¦‘ßü7Ü:ŽŽŽ‘~ÛG.–eEA.“Tš¬ryler,‘ò\T‘ÿVurbulence-induced“adaptiv˜e-optics“pSŽerformance“degradation:‘ö.ev‘ÿXäaluationŽ¡‘~in–ê¨the“time“domain,"“J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“A“à1,“Û251-262“(1984).Ž¦‘ßü8Ü:ŽŽŽ‘~ÛI.–±˜S.“Gradsh¬rteyn“and“I.“M.“Ryzhik,‘½ÞT‘ÿ™able–þÂof“Inte–ÿffgr“als,– ?Series,“and‘þÂPr–ÿffo“ducts‘±˜Û(Academic,Ž¡‘~New–ê¨Y‘ÿVork,“1980).Ž¦‘ßü9Ü:ŽŽŽ‘~ÛV.–Ú&I.“T‘ÿVatarski,‘ÝsÞThe–$ E e›ÿffcts“Of“The“T‘ÿ™urbulent“A³2tmospher˜e“On“Wave“Pr˜op˜agation–Ú&Û(U.“S.Ž¡‘~Departmen¬rt–ê¨of“Commerce,“W‘ÿVashington,“D.C.,“1971).Ž¦10Ü:ŽŽŽ‘~ÛR.–œ7E.“Hufnagel,‘ÈšÞOptic–ÿffal›ÖiPr“op“agation˜thr“ough˜T‘ÿ™urbulenc“e–œ7Û(Optical“SoSŽciet¬ry“of“America,Ž¡‘~W‘ÿVashington,–ê¨D.“C.,“1974).ŽŽŸ’ä 18ŽŽŒ‹™8 ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\begin{references}Ž¡\bibitem{1}‘ YšJ.–,ÍBelsher“and“D.“Fried,“``Chromatic“refractionŽ¡induced–,Ípseudo‘ Yšanisoplanatism,''“tOSC“Rep.“TR-433“(OpticalŽ¡Sciences–,ÍCo.,‘ YšPlacentia,“Calif.,“1981).Ž¡\bibitem{2}› YšB.–,ÍL.“Ellerbroek“and“P.“H.“Roberts,˜``TurbulenceŽ¡induced–,Íangular“separation“errors;“expected“values“for“the‘ YšSOR-2Ž¡experiment,''–,ÍtOSC“Rep.› YšTR-613“(Optical“Sciences“Co.,˜Placentia,Ž¡Calif.,‘,Í1984).Ž¡\bibitem{3}› YšD.–,ÍL.“Fried,“``Differential“angle“of˜arrival:“theory,Ž¡evaluation,–,Íand“measurement“feasibility,''“Radio‘ YšSci.“{\bf“10,}Ž¡71-76‘,Í(1975).Ž¡\bibitem{4}› YšD.–,ÍFried,“``Anisoplanatism“in“adaptive˜optics,''Ž¡\josa–,Í{\bf“72,}“52-61“(1982).– Yš\bibitem{5}“D.–,ÍKorff,“G.“Druden,Ž¡and‘ YšR.–,ÍP.“Leavitt,“``Isoplanicity:“the“translation“invariance“ofŽ¡the‘ Yšatmospheric–,ÍGreen's“function,''“\josa“{\bf“65,}“1321-1330Ž¡(1975).Ž¡\bibitem{6}‘†gJ.–,ÍH.“Shapiro,“``Point-ahead“limitation“onŽ¡reciprocity–,Ítracking,''‘ Yš\josa“{\bf“65,}“65-68“(1975).Ž¡\bibitem{7}› YšG.–,ÍA.“Tyler,“``Turbulence-induced˜adaptive-opticsŽ¡performance–,Ídegradation:“evaluation“in“the“time“domain,''‘ Yš\josaaŽ¡{\bf‘ Yš1,}–,Í251-262“(1984).Ž¡\bibitem{8}› YšI.–,ÍS.“Gradshteyn“and“I.“M.˜Ryzhik,“{\it“Table“ofŽ¡Integrals,–,ÍSeries,“and“Products}‘ Yš(Academic,“New“York,“1980).Ž¡\bibitem{9}‘ YšV.–,ÍI.“Tatarski,“{\it“The“Effects“Of“The“TurbulentŽ¡Atmosphere‘ YšOn–,ÍWave“Propagation}“(U.“S.“Department“of“Commerce,Ž¡Washington,–,ÍD.C.,“1971).Ž¡\bibitem{10}– YšR.›,ÍE.“Hufnagel,˜{\it˜Optical˜Propagation˜throughŽ¡Turbulence}–,Í(Optical“Society“of“America,“Washington,“D.“C.,“1974).Ž¡\end{references}Ž¡ŽŸ’ä Û19ŽŽŒ‹¡ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg’Ïr¼ÛFIGURESŽŸ,šŸè¥ÒFig.–º{1.‘!ÃComparison“of“the“Mar²"‘úÔDecš²!hal“and“the“t˜w˜o-“to“six-term“appro˜ximations“with“the“exactŽŸÿ[v‘ÿdDalue–¦fof“the“Strell“ratio,“for“an“anisoplanatic“displacemen²!t,“for“ó(  b> ó3 cmmi10ÓDMÞ=rŸ¤zÀ0Ž‘fjÒequal“to“1.ŽŽ¤;VÑŸè¥Fig.–º{2.‘!ÃComparison“of“the“Mar²"‘úÔDecš²!hal“and“the“t˜w˜o-“to“six-term“appro˜ximations“with“the“exactŽŸÿ[v‘ÿdDalue–¦fof“the“Strell“ratio,“for“an“anisoplanatic“displacemen²!t,“for“ÓDMÞ=rŸ¤zÀ0Ž‘fjÒequal“to“5.ŽŽ¡Ÿè¥Fig.–º{3.‘!ÃComparison“of“the“Mar²"‘úÔDecš²!hal“and“the“t˜w˜o-“to“six-term“appro˜ximations“with“the“exactŽŸÿ[v‘ÿdDalue–¦fof“the“Strell“ratio,“for“an“anisoplanatic“displacemen²!t,“for“ÓDMÞ=rŸ¤zÀ0Ž‘fjÒequal“to“10.ŽŽŸSV,ŸÐJFig.–)®4.‘› Strehl“ratio“for“angular“anisoplanatic“error“at“zenith,‘Šfor“v‘ÿdDarious“turbulence“moMÞdels,Ž¤ÿ[v²!ersus–¨separation“angle“for“a“0.6-m“system.‘¤UppMÞer-altitude“turbulence“has“a“strong“e ect“on“theŽ¡Strehl‘¦fratio.ŽŽ¤/ÿ[Fig.–¦f5.‘ó5Strehl“ratio“for“angular“anisoplanatism“at“30Ÿü¾ÂŽ‘fjÒfor“a“0.6-m“system.ŽŽŽ¡Fig.–¦f6.‘ó5Strehl“ratio“vš²!ersus“time“dela˜y“at“zenith“for“a“0.6-m“system.ŽŽŽŸ:ÀÌŸè¥Fig.–47.‘ó5Strehl“ratio“vš²!ersus“time“dela˜y“for“a“0.6-m“system“at“30Ÿü¾ÂŽ‘P8Òzenith“angle.‘ÖwStrehl“ratio“at“30Ÿü¾ÂŽŽŸÿ[Òfor–¦fa“0.6-m“system.ŽŽ¡Fig.–¦f8.‘ó5Di erence“(ÔÒ10Ÿü¾À6Ž‘ÀÒ)“in“refractivš²!e“index“bMÞet˜w˜een“0Ó:Ò5‘Ó1ÓÒm“and“other“w˜a˜v˜elengths.ŽŽŽŽŸ’ä Û20ŽŽŒ‹§ù ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍComparison“of“the“Mar\'{e}chal“and“the“two-“to“six-termŽ¡approximations‘ Yšwith–,Íthe“exact“value“of“the“Strell“ratio,“for“anŽ¡anisoplanatic–,Ídisplacement,“for“$D/r_0$‘ Yšequal“to“1.}\label{f1}Ž¡\end{figure}Ž¡¡\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍComparison“of“the“Mar\'{e}chal“and“the“two-“to“six-termŽ¡approximations‘ Yšwith–,Íthe“exact“value“of“the“Strell“ratio,“for“anŽ¡anisoplanatic–,Ídisplacement,“for“$D/r_0$‘ Yšequal“to“5.“}“\label{f5}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍComparison“of“the“Mar\'{e}chal“and“the“two-“to“six-termŽ¡approximations‘ Yšwith–,Íthe“exact“value“of“the“Strell“ratio,“for“anŽ¡anisoplanatic–,Ídisplacement,“for“$D/r_0$‘ Yšequal“to“10.“}“\label{f10}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{Strehl–,Íratio“for“angular“anisoplanatic“error“at“zenith,Ž¡for‘ Yšvarious–,Íturbulence“models,“versus“separation“angle“for“a“0.6-mŽ¡system.‘†gUpper-altitude–,Íturbulence“has“a“strong“effect“on“theŽ¡Strehl‘,Íratio.}Ž¡\label{faaz}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍStrehl“ratio“for“angular“anisoplanatism“at“$30^{\circ}$Ž¡for–,Ía“0.6-m“system.}Ž¡\label{faa30}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍStrehl“ratio“versus“time“delay“at“zenith“for“a“0.6-mŽ¡system.}Ž¡\label{ftdz}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍStrehl“ratio“versus“time“delay“for“a“0.6-m“system“atŽ¡$30^{\circ}$–,Ízenith“angle.‘àStrehl“ratio‘ Yšat“$30^{\circ}$“for“aŽ¡0.6-m–,Ísystem.“}Ž¡\label{ftd30}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{–,ÍDifference“($\times“10^6$)“in“refractive“index“betweenŽ¡$0.5–,Í\,“\mu“\rm“m$“and“other“wavelengths.}\label{fri}Ž¡\end{figure}Ž¡ŽŸ’ä Û21ŽŽŒ‹® ¯î™ ý7g ªî™ ýxg’ÒÀÛT‘ÿVABLESŽŸ,šŸè¥ÒT–ÿeable‘1.‘À,V“alues–UÂof“ÓTŸ¤zÀ2Ž‘ ÆÒand“ÓTŸ:uÀ5Á=À3Ž‘•ÎÒto“Solvš²!e“for“the“Chromatic“Displacemen˜t“for“V›ÿearious“T˜urbulenceŽŸÿ[MoMÞdels–¦ffor“a“W‘ÿea•²!v“elength–¦fof“0.5“ÓÒmŽŽŸ‡w‰ffÔ¤ÌTMoMÞdelŽ’Ú%XÓTŸ¤zÀ2Ž‘ÀŸü¾ó#Ñfcmti8ÃaŽŽŽ’ªL»ÓTŸ:uÀ5Á=À3Ž‘ @ Ÿü¾ÃbŽŽŽŽŸ ™l‰ffÔ¡ÒSLC-Da²!yŽ’Å¿2Ó:Ò71–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ6ŽŽ’™0WÒ2Ó:Ò00–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ7ŽŽŽ¤ÿZÒHV-21Ž’Å¿6Ó:Ò16–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ6ŽŽ’™0WÒ3Ó:Ò60–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ7ŽŽŽ¡ÒHV-54Ž’Å¿3Ó:Ò40–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ5ŽŽ’™0WÒ1Ó:Ò87–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ6ŽŽŽ¡ÒHV-72Ž’Å¿5Ó:Ò95–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ5ŽŽ’™0WÒ3Ó:Ò25–BÔ“Ò10Ÿü¾ÂÀ6ŽŽŽŸ ™l‰ffÔŸ ùB‘ ó5Ÿü¾ÃaŽŽ‘ŠÒThe–¦funits“of“ÓTŸ¤zÀ2Ž‘fjÒare“ÓmŸü¾À1Á=À3Ž‘ @ Ò.ŽŸÿ[‘ ó5Ÿü¾ÃbŽŽ‘ãìÓTŸ:uÀ5Á=À3Ž‘ærÒis‘¦fdimensionless.ŽŽŸ’ä Û22ŽŽŒ‹´í ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\begin{table}Ž¡\caption{Values–,Íof“$T_2$“and– Yš$T_{5/3}$“to–,ÍSolve“for“the“ChromaticŽ¡Displacement–,Ífor“Various‘ YšTurbulence“Models“for“a“Wavelength“of“0.5Ž¡$\mu–,Í\rm“m$}Ž¡\begin{tabular}{lcc}Ž¡Model&$T_2$\tablenote{The–,Íunits“of“$T_2$“are“$m^{1/3}$.}&Ž¡$T_{5/3}$\tablenote{$T_{5/3}$‘ Yšis–,Ídimensionless.}“\\“\tablelineŽ¡SLC-Day&$2.71–,Í\,“\times“\,“10^{-6}$&$2.00“\,“\times“\,“10^{-7}$\\Ž¡HV-21&$6.16–,Í\,“\times“\,“10^{-6}$&$3.60“\,“\times“\,“10^{-7}$\\Ž¡HV-54&$3.40–,Í\,“\times“\,“10^{-5}$&$1.87“\,“\times“\,“10^{-6}$\\Ž¡HV-72&$5.95–,Í\,“\times“\,“10^{-5}$&$3.25“\,“\times“\,“10^{-6}$\\Ž¡\end{tabular}Ž¡\end{table}Ž¡¡\end{document}Ž¡¡ŽŸ’ä Û23ŽŽŒ‹¸… ¯î™ ý7g ªî™ ýzf‘ü5ëAGeneration,–zápropagation,“and“ampli cation“of“darkŽ¤ÿZ’Ê2solitonsŽŸÜiuŸÌÌÁzŽ‘uVÝ‘ª¨Û1Ü=Û2Ž‘JœÜuŸÌÌÁttŽ‘ N<Û+‘ª¨ÝjÜuÝjŸû ™À2Ž‘ÀÜu–URÛ=“ÜiÛÜu;ŽŽ’Äü|Û(2)ŽŽŽŽ¡where–;“is“assumed“to“bSŽe“a“constan¬rt,‘¡„appropriate“for“the“Raman“ampli cation“under“strongŽ©ÿZpumping–ê¨without“depletion.›8àThe“solution“of“a“similar“equation“to“Eq.˜(2),“but“.–õT.“.Ž¡‘¿ÿÜtŸû ™Â0ŽŽŽ‘ !ÀÛ=ŽŽ‘ššÜteŸû ™ÀÁzŽ‘ ¢Ü;ŽŽ’¿€Û(3a)ŽŽŽŽ¤ÿZÜz‘ˆãŸû ™Â0ŽŽŽ‘ !ÀÛ=ŽŽŸ÷áÅ‘ÍÍÜeŸû¥2À2ÁzŽ‘NÝ‘ª¨Û1Ž‘ÍÍŸQm‰fe(VhŸ  ‘ }2ŽŽŽŽ‘CWhÜ;ŽŽ’¾udÛ(3b)ŽŽŽŽ¡‘sÜuŽ‘ !ÀÛ=ŽŽ‘ššÜvn9eŸû ™ÀÁzŽ‘ ¢Ü:ŽŽ’¿ÃœÛ(3c)ŽŽŽŽ¤#>–ê¨Under“this“transformation,“the“NLSE“has“the“new“formŽ¡ÜivŸÌÌÁzV…Ÿý¸äóq¡% cmsy6¼0ŽŽ‘ 'Ý‘j Ÿû ™À1Ž‘¤>Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ2Ž‘“4ÜvŸÌÌÁtŸý¸ä¼0Ž‘±ÇÁtŸý¸ä¼0ŽŽ‘±ÊÝ‘ª¨jÜvn9ÝjŸû ™À2Ž‘ÀÜvŽŽ‘qÛ=ŽŽ‘~ðÝŸ÷áÅ‘/›ÛÜtŸû¥2Â0ŽŽ‘33ŸQm‰fe*\±Ÿ  Û2Üz‘ˆãŸüˆ‰Â0Ž‘ÄÛ+‘ª¨1ŽŽŽŽ‘,ÃÜvŸÌÌÁtŸý¸ä¼0ŽŽ‘C‘Ü:ŽŽ’Äü|Û(4)ŽŽŽŽ¡The–Csolution“of“Eq.‘B(2)“when““=“0“is“wš¬rell“kno˜wn“and“has“the“form“expŽ‘6”[Üin9Û(Üz‘ˆã;–ÿþtÛ)]Ü“ÛtanhŽ‘ìÜtÛ,Ž¦where–ž Ü“Ûis“the“form“factor“and“the“phase“v‘ÿXäariable“satis es“Ü@–§n9=@“z‘ŽÛ=‘†«ÜŸû¥2À2Ž‘ÀÛ.Ÿû¥2À1Ž‘ ^ÛTherefore,‘ÊæwhenŽ¦the–Ñ4righ¬rt-hand-side“of“Eq.(4)“is“zero,‘ÖKan“exact“solution“for“Üvn9Û(Üz‘ˆãŸû¥2Â0Ž‘WÜ;‘ÿþtÛ)“can“bSŽe“obtained“from“Eq.Ž¦(4).‘ô´On–)Dthe“other“hand,‘8ëwhen“Üz‘HÇÝ!›¿ä1“Ûand“hence“Üz‘ˆãŸû¥2Â0Ž‘Ý!˜1“Ûor“˜Ý!˜Û0,‘8ëthe“righ¬rt-hand“side“ofŽ¦Eq.› 8(4)–0pbSŽecomes“in nitely“small.˜Under“these“conditions,‘Aâwš¬re“can“treat“the“righ˜t-hand“sideŽ¦of–ê¨Eq.‘8à(4)“as“a“pSŽerturbation“to“the“NLSE.“.–õT.“.Ž¡ÜuÛ(Üz‘ˆã;‘ÿþtÛ)ŽŽ‘"¨Ê=ŽŽ‘/!¤expŽ‘C$Ÿîf\« Ž‘JÿÐÜiŸ÷áÅ‘33eŸû¥2À2ÁzŽ‘NÝ‘ª¨Û1Ž‘33ŸQm‰fe(VhŸ  ‘ }2ŽŽŽŽ‘*¼ÎŸîf\«!ŽŽ’ƒ©oÜeŸû ™ÀÁzŽ‘  ÛtanhŽ‘#™(ÜteŸû ™ÀÁzŽ‘ ¢Û)Ü;ŽŽ’Äü|Û(5)ŽŽŽŽ¤ÿZ‘üŽ‘"¨Ê=ŽŽ‘/!¤Ügn9Û(ÜeŸû ™ÂÀ2Ÿó;Îcmmi6»pŽ‘Z×ÁzŽ‘ûÛ+–ª¨ÜeŸû ™ÂÀ2Ÿ»pŽ‘Z×À(ÁLÂÁzV…À)Ž‘,Q½Û)“Ý“ÛŸÌÌÁsŽ‘n<Ü;ŽŽ’Äü|Û(6)ŽŽŽŽ¡‘DèÜgŽ‘"¨ÊÛ=ŽŽŸ÷áÅ‘0TןÌÌÁpŽ‘Ç]Û(ŸÌÌÁsŽ‘äÛ+‘ª¨Ü ‘ªOÛ)ÜLŽ‘0TןQm‰fe>ËÛŸ  ‘K_ÛsinhŽ‘?•(ŸÌÌÁpŽ‘Ç]ÜLÛ)ŽŽŽŽ‘pSåÜeŸû ™ÀŸ»pŽ‘Z×ÁLŽ‘ñ£Ü;ŽŽ’Äü|Û(7)ŽŽŽŽ¡‘ n1ÜÛ(Üz‘ˆãÛ)ŽŽ‘"¨Ê=ŽŽ‘/!¤ÜŸÌÌÀ0Ž‘ÀÛexpŽ‘³„(Ü ‘ªOz‘ˆãÛ)Ü:ŽŽ’Äü|Û(8)ŽŽŽŽŸ:x×4.Ž‘dEFFECTS–2OF“INTRAPULSE“STIMULA›þó\TED“RAMAN“SCA˜TTERINGŽŸ&8ÛThe–propSŽerties“of“dark“solitons“considered“th¬rus“far“are“based“on“the“simpli ed“propagationŽ¦equation‘ê¨(2).‘8à.–õT.“.ŽŽŸ’ä 28ŽŽŒ‹Ûu ¯î™ ý7g ªî™ ýxgáWe–,Ífirst“examine“the“solution“of“a“modified“NLSE“with“a“constant“gain:Ž¤ ÿ­\begin{eqnarray}Ž¡i–,Íu_{z}“-“{1/2}“u_{tt}“+“|u|^2“u– Yš=“i–,Í\Gamma“u,Ž¡\label{E2}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡where–,Í$\Gamma“$“is“assumed“to“be“a“constant,Ž¡appropriate–,Ífor“the“Raman“amplificationŽ¡under–,Ístrong“pumping“without“depletion.‘ YšTheŽ¡solution–,Íof“a“similar“equation“to“Eq.“(\ref{E2}),Ž¡but‘,Í\ldotsŽ¡\begin{mathletters}Ž¡\begin{eqnarray}Ž¡t'– Yš&=&“t–,Íe^{“\Gamma“z“},“\label{E4}‘ Yš\\Ž¡z'– Yš&=&“{–,Íe^{2“\Gamma“z“}“-“1“\over› Yš2“\Gamma“},˜\label{E5}˜\\Ž¡u‘†g&=&‘ Yšv–,Íe^{“\Gamma“z“}“.’ ŒÒ\label{E6}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡\end{mathletters}Ž¡Under–,Íthis“transformation,‘ Yšthe“NLSE“has“the“new“formŽ¡\begin{eqnarray}Ž¡i–,Ív_{z'}“-\slantfrac{1}{2}“v_{“t'“t'“}“-“|v|^2“v‘ Yš&=&Ž¡-–,Í{“\Gamma“t'“\over“2“\Gamma“z'“+“1}“v_{t'}.“\label{E7}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡The–,Ísolution“of“Eq.“(\ref{E2})“when“$\Gamma“$“=“0“is“well“known“andŽ¡has–,Íthe“form“${\rm“exp}“[i“\sigma“(z,t)“]“\kappa“\tanh“\kappa“t“$,Ž¡where–,Í$\kappa“$“is“the“form“factor“and“the“phase“variable“satisfiesŽ¡$–,Í\partial“\sigma“/“\partial“z– Yš=“\kappa^2‘,Í$.\cite{ZA}Ž¡Therefore,–,Íwhen“the“right-hand-side“ofŽ¡Eq.(\ref{E7})–,Íis“zero,“an“exact“solution“for“$v(z',t)$“can“beŽ¡obtained–,Ífrom“Eq.“(\ref{E7}).Ž¡On–,Íthe“other“hand,“when“$z“\rightarrow“\infty“$“and“henceŽ¡$z'–,Í\rightarrow“\infty“$“or“$“\Gamma“\rightarrow“0$,‘ YštheŽ¡right-hand–,Íside“of“Eq.“(\ref{E7})“becomes“infinitely“small.Ž¡Under–,Íthese“conditions,“we“can“treat“the“right-handŽ¡side–,Íof“Eq.“(\ref{E7})“as“a“perturbation“to“the“NLSE.Ž¡\ldotsŽ¡\begin{eqnarray}Ž¡u(z,t)&=&{\rm–,Íexp}\left(“i{e^{2\Gamma“z}-1“\over“2\Gamma}\right)Ž¡e^{\Gamma–,Íz}“\,“{\rm“tanh}“(te^{\Gamma“z}),Ž¡\label{E8}’Å™ \\Ž¡\Gamma&=&g(e^{-2\Gamma_pz}–,Í+“e^{-2\Gamma_p(L-z)})“-“\Gamma_s,Ž¡\label{E9}‘,Í\\Ž¡g&=&{\Gamma_p(\Gamma_s–,Í+“\beta)L“\over“{\rm“sinh}(\Gamma_pL)}Ž¡e^{\Gamma_pL}–,Í,“\label{E10}“\\Ž¡\kappa(z)–,Í&=&“\kappa_0“\,“{\rm“exp}(\beta“z).“\label{E11}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡¡\section{EFFECTS–,ÍOF“INTRAPULSE“STIMULATED“RAMAN“SCATTERING}Ž¡\label{EIS}Ž¡The–,Íproperties“of“dark“solitons“considered“thus“far“areŽ¡based–,Íon“the“simplified“propagation“equation“(\ref{E2}).Ž¡\ldotsŽ¡ŽŸ’ä Û29ŽŽŒ‹æ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛ.–õT.“.“The–szenergies“of“these“separating“solitons“are“distributed“in“sucš¬rh“w˜a˜y“to“ensure“con-Ž¤ÿZserv‘ÿXäation–ê¨of“momen¬rtum.‘8à.–õT.“.Ž©!ƒÜiuŸÌÌÁzŽ‘uVÝ‘ª¨Û1Ü=Û2Ž‘JœÜuŸÌÌÁttŽ‘ N<Û+‘ª¨ÝjÜuÝjŸû ™À2Ž‘ÀÜuŽŽ‘g³ÊÛ=ŽŽ‘t,¤ÜŸÌÌÁdŽŸ÷áÅ‘ÛÜ@‘§ÝjÜuÝjŸû¥2À2ŽŽ‘ÛŸQm‰feõ«Ÿ  ‘î;Ü@‘§tŽŽŽŽ‘ ;¹u;ŽŽ’Äü|Û(9)ŽŽŽŽŸ8L¹×5.Ž‘dEVEN–2D¦tARK“PULSESŽŸ%Ì<ÛEvš¬ren–Ô8dark“pulses,Ÿû¥2À9Á;À10Ž‘p¸Ûwhic˜h“are“symmetric“functions“of“time“cen˜tered“around“the“pulse,‘صcanŽ¡bSŽe–ê¨simply“generated“b¬ry“driving“the“MZI“with“a“short“electric“pulse.‘8à.–õT.“.Ž¡‘ŸôIf–ê¨w¬re“de ne“the“amplitudes“of“the“secondary“soliton“pairs“asŽ¦ÜŸÌÌÁnŽ‘ý¢Û=‘URÜŸÌÌÀ0Ž‘j¬Ý‘ª¨ÛŸÌÌÁnŽ‘¨PÜ;ŽŽ’¿€Û(10)ŽŽŽŽ¦then–ê¨the“ÜnÛth“order“secondary“pulse“shapSŽe“(n“=“1,“2,“3,“.–õT.“.“)‘8àhas–ê¨the“formŽ¦ÜuŸÌÌÁnŽ›¨PÛ(Üz‘ˆã;‘ÿþtÛ)–UR=“ÜŸÌÌÀ0ŽŸ÷áÅ‘ó7Û(ÜŸÌÌÁnŽ‘RøÝ–ª¨ÜiŸÌÌÁnŽ˜Û)Ÿû¥2À2Ž‘j¬Ý“ÜŸÌÌÁnŽ‘¨NÛexpŽ‘›Ð[2ÜŸÌÌÁnŽ˜Û(Üt“Ý“ÜtŸÌÌÁnÀ0Ž‘ ’üÝ“ÜŸÌÌÁnŽ˜Üz‘ˆãÛ)]Ž‘ó7ŸQm‰feÉÚÛŸ  ‘mÔ1–ª¨+“ÜŸÌÌÁnŽ‘¨NÛexpŽ‘›Ð[2ÜŸÌÌÁnŽ˜Û(Üt“Ý“ÜtŸÌÌÁnÀ0Ž‘ ’üÝ“ÜŸÌÌÁnŽ˜Üz‘ˆãÛ)]ŽŽŽŽ’ÑEÜeŸû ™ÁizŽ‘¯ˆÜ;ŽŽ’¿€Û(11)ŽŽŽŽ¦.–õT.“.Ž©//×6.Ž‘dCONCLUSIONSŽŸ%Ì<ÛW‘ÿVe›€dha•¬rv“e˜discussed˜the˜pSŽossibilit“y˜of˜using˜the˜w“a“v“eguide˜Mac“h{Zehnder˜in“terferometer˜toŽ¡generate–³Õa“v‘ÿXäarietš¬ry“of“dark“solitons“under“constan˜t“bac˜kground.‘”fUnder“optimal“opSŽeration,Ž¡30%–07less“input“pšSŽo•¬rw“er–07and“driving“v¬roltage“are“required“than“for“complete“mo˜dulation.‘ ŒTheŽ¡generated–'§solitons“can“ha•¬rv“e›'§go•SŽo“d˜pulse˜qualit•¬ry˜and˜stim“ulated˜Raman˜scattering˜proSŽcess˜canŽ¡bšSŽe–¤õutilized“to“comp˜ensate“for“ b˜er“loss“and“ev¬ren“to“amplify“and“compress“the“dark“solitons.Ž¡.–õT.“.Ž¦×A•¦tCKNO“WLEDGMENTSŽŸ%Ì<ÛThe–“authors“thank“the“reviewš¬rers“for“their“constructiv˜e“commen˜ts.‘ý¢This“researc˜h“w˜as“sup-Ž¡pSŽorted–ê¨bš¬ry“National“Science“F‘ÿVoundation“gran˜t“ECS-91960-64.ŽŽŸ’ä 30ŽŽŒ‹ï1 ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\ldots–,ÍThe“energies“of“theseŽ¡separating–,Ísolitons“are“distributed“in“such“way“to“ensure“conservation“ofŽ¡momentum.’à \ldotsŽ¡¡\begin{eqnarray}Ž¡iu_z–,Í-“{1/2}u_{tt}+|u|^2u“&=&“\tau_d{\partial“|u|^2“\over“\partial“t}u,Ž¡\label{E12}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡\ldotsŽ¡¡\section{EVEN‘ YšDARK‘,ÍPULSES}Ž¡\label{EDP}Ž¡Even–,Ídark“pulses,\cite{KA,WA}“which“are“symmetric“functions“of“timeŽ¡centered–,Íaround“the“pulse,“can“be“simply“generated“by“drivingŽ¡the–,ÍMZI“with“a“short“electric“pulse.“\ldotsŽ¡¡If–,Íwe“define“the“amplitudes“of“the“secondary“soliton“pairs“asŽ¡\begin{eqnarray}Ž¡\kappa_n– Yš=“\kappa_0–,Í-“\Delta_{n}“,‘ Yš\label{E16}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡then–,Íthe“$n$th“order“secondary“pulse“shape“(n“=“1,“2,“3,“\ldots“)Ž¡has–,Íthe“formŽ¡\begin{eqnarray}Ž¡u_n›,Í(z,t)– Yš=“\kappa_{0}{(\lambda_n˜-˜i˜\nu_n˜)^2˜-˜\nu_nŽ¡\,{\rm–,Íexp}“[“2“\nu_n“(t-t_{n0}“-“\lambda_{n}“z)]“\over‘ Yš1“+Ž¡\nu_n\,–,Í{\rm“exp}“[“2“\nu_n“(t-t_{n0}“-“\lambda_n“z)]}“e^{iz},Ž¡\label{E17}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡\ldotsŽ¡¡\section{CONCLUSIONS}Ž¡We–,Íhave“discussed“the“possibility“of“using“the“waveguide“Mach--ZehnderŽ¡interferometer–,Íto“generate“a“variety“of“dark“solitons“under“constantŽ¡background.‘ YšUnder‘,ÍoptimalŽ¡operation,‘ Yš30\%–,Íless“input“power“and“driving“voltage“are“requiredŽ¡than–,Ífor“complete“modulation.‘ YšTheŽ¡generated–,Ísolitons“can“have“good“pulse“quality“and“stimulated“RamanŽ¡scattering–,Íprocess“can“be“utilized“to“compensate“for“fiber“loss“and“evenŽ¡to–,Íamplify“and“compress“the“dark“solitons.“\ldotsŽ¡¡¡\acknowledgmentsŽ¡¡The–,Íauthors‘ Yšthank“the“reviewers“for“their“constructive“comments.Ž¡This–,Íresearch“was“supported“by“National“Science“Foundation“grantŽ¡ECS-91960-64.Ž¡ŽŸ’ä Û31ŽŽŒ‹ ÷h ¯î™ ý7g ªî™ ýxgçREFERENCESŽŸ"~‘ßüÛ1Ü:ŽŽŽ‘~ÛV.–˜E.“Zakharoš¬rv“and“A.“B.“Shabat,‘)\Exact“theory“of“t˜w˜o-dimensional“self-foSŽcusing“andŽ¤ÿZ‘~one-dimensional–žAself-moSŽdulation“of“w•¬ra“v“es–žAin“nonlinear“media,"‘ (Soš¬rv.“Ph˜ys.“JETP‘Ñà5,Ž¡‘~Û364{372‘ê¨(1972).Ž©ÿZ‘ßü2Ü:ŽŽŽ‘~ÛV.–"SE.“Zakharoš¬rv“and“A.“B.“Shabat,‘0=\In˜teraction“bSŽet˜w˜een“solitons“in“a“stable“medium,"Ž¡‘~So•¬rv.›ê¨Ph“ys.˜JETP˜à37,˜Û823{828˜(1973).Ž¦‘ßü3Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–XšSatruma“and“N.“Y‘ÿVa‘§jima,‘uÐ\Initial“v‘ÿXäalue“problems“of“one-dimensional“self-phase“moSŽdu-Ž¡‘~lation–§ñof“nonlinear“w•¬ra“v“es–§ñin“dispSŽersivš¬re“media,"‘µIProgr.“Theor.“Ph˜ys.“Suppl.“à55,‘µIÛ284{305Ž¡‘~(1974).Ž¦‘ßü4Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.›¨Hasega•¬rw“a˜and˜F.˜T–ÿVappSŽert,‘×y\T“ransmission˜of˜stationary˜nonlinear˜optical˜pulses˜inŽ¡‘~dispšSŽersiv¬re–8dielectric“ b˜ers.“I.“Anomalous“disp˜ersion,"›¬µAppl.“Ph¬rys.“Lett.“à23,˜Û142“(1973).Ž¦‘ßü5Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.›¨Hasega•¬rw“a˜and˜F.˜T–ÿVappSŽert,‘×y\T“ransmission˜of˜stationary˜nonlinear˜optical˜pulses˜inŽ¡‘~dispšSŽersiv¬re–ê¨dielectric“ b˜ers.“I˜I.“Normal“disp˜ersion,"“Appl.“Ph¬rys.“Lett.“à23,“Û172“(1973).Ž¦‘ßü6Ü:ŽŽŽ‘~ÛG.–ê¨P‘ÿV.“Agra•¬rw“al,‘ê¨ÞNonline–ÿffar›35Fib“er˜Optics,–ê¨ÛChapt.“5“(Academic,“Boston,“1989).Ž¦‘ßü7Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–C|Zhao“and“E.“Bourkš¬ro ,‘™±\Generation“of“dark“solitons“under“cw“bac˜kground“usingŽ¡‘~w•¬ra“v“eguide–ê¨EO“moSŽdulators,"“Opt.“Lett.“à15,“Û405{407“(1990).Ž¦‘ßü8Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–‘ŒZhao“and“E.“Bourk¬ro ,›£_\Dark“solitons:‘ Rgeneration,˜propagation,˜and“ampli cation",Ž¡‘~ÞOSA‘2YA³2nnual‘2ZMe‘ÿffeting,‘ééÛV›ÿVol.–é¹18“of“1989“OSA“T˜ecš¬rhnical“Digest“Series“(Optical“SoSŽciet˜y“ofŽ¡‘~America,–ê¨W‘ÿVashington,“D.C.,“1989),“p.“185.Ž¦‘ßü9Ü:ŽŽŽ‘~ÛD.–KrŽoŽŽ‘ßük¬rel,›"N.“J.“Halas,˜G.“Giuliani,˜and“D.“Grisc•¬rhk“o“wsky‘ÿV,˜\Dark-pulse–propagation“inŽ¡‘~optical–ê¨ bSŽers,"“Ph¬rys.“Rev.“Lett.“à60,“Û29{32“(1988).Ž¦10Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.–EVM.“W›ÿVeiner,‘œJ.“P˜.“Heritage,›œR.“J.“Ha¬rwkins,˜R.“N.“Th¬rurston,˜E.“M.“Kirsc¬rhner,˜D.Ž¡‘~E.– hLeaird,›Í×and“W.“J.“T‘ÿVomlinson,˜\ExpSŽerimenš¬rtal“observ‘ÿXäation“of“the“fundamen˜tal“darkŽ¡‘~soliton–ê¨in“optical“ bSŽers,"“Ph¬rys.“Rev.“Lett.“à61,“Û2445{2448“(1988).ŽŽŸ’ä 32ŽŽŒ‹!þ‡ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\begin{references}Ž¡\bibitem{ZA}Ž¡V.–,ÍE.“Zakharov“and“A.“B.“Shabat,“``Exact“theory“of“two-dimensionalŽ¡self-focusing–,Íand“one-dimensional“self-modulation“of“waves“in“nonlinearŽ¡media,''–,ÍSov.“Phys.“JETP“{\bf“5,}“364--372“(1972).Ž¡\bibitem{ZB}Ž¡V.–,ÍE.“Zakharov“and“A.“B.“Shabat,“``Interaction“between“solitons“inŽ¡a–,Ístable“medium,''“Sov.“Phys.“JETP“{\bf“37,}“823--828“(1973).Ž¡\bibitem{SA}Ž¡J.–,ÍSatruma“and“N.“Yajima,“``Initial“value“problems“of“one-dimensionalŽ¡self-phase–,Ímodulation“of“nonlinear“waves“in“dispersive“media,''“Progr.Ž¡Theor.–,ÍPhys.“Suppl.“{\bf“55,}“284--305“(1974).Ž¡\bibitem{HA}Ž¡A.–,ÍHasegawa“and“F.“Tappert,“``Transmission“of“stationary“nonlinearŽ¡optical–,Ípulses“in“dispersive“dielectric“fibers.“I.“AnomalousŽ¡dispersion,''–,ÍAppl.“Phys.“Lett.“{\bf“23,}“142“(1973).Ž¡\bibitem{HB}Ž¡A.–,ÍHasegawa“and“F.“Tappert,“``Transmission“of“stationary“nonlinearŽ¡optical–,Ípulses“in“dispersive“dielectric“fibers.“II.“NormalŽ¡dispersion,''–,ÍAppl.“Phys.“Lett.“{\bf“23,}“172“(1973).Ž¡\bibitem{AB}Ž¡G.–,ÍP.“Agrawal,“{\it“Nonlinear“Fiber“Optics,}“Chapt.“5“(Academic,Ž¡Boston,‘,Í1989).Ž¡\bibitem{ZBD}Ž¡W.–,ÍZhao“and“E.“Bourkoff,“``Generation“of“dark“solitons“under“cw“backgroundŽ¡using–,Íwaveguide“EO“modulators,''“Opt.“Lett.“{\bf“15,}“405--407“(1990).Ž¡\bibitem{ZBE}Ž¡W.–,ÍZhao“and“E.“Bourkoff,“``Dark“solitons:“generation,“propagation,‘ YšandŽ¡amplification'',–,Í{\it“OSA“Annual“Meeting,}“Vol.“18“of“1989“OSA“TechnicalŽ¡Digest–,ÍSeries“(Optical“Society“of“America,“Washington,“D.C.,“1989),“p.“185.Ž¡\bibitem{KA}Ž¡D.–,ÍKr$\rm“{\ddot“o}$kel,“N.“J.“Halas,“G.“Giuliani,“and“D.“Grischkowsky,Ž¡``Dark-pulse–,Ípropagation“in“optical“fibers,''Ž¡Phys.–,ÍRev.“Lett.“{\bf“60,}“29--32“(1988).Ž¡\bibitem{WA}Ž¡A.–,ÍM.“Weiner,“J.“P.“Heritage,“R.“J.“Hawkins,“R.“N.“Thurston,“E.“M.Ž¡Kirschner,–,ÍD.“E.“Leaird,“and“W.“J.“Tomlinson,“``ExperimentalŽ¡observation–,Íof“the“fundamental“dark“soliton“in“optical“fibers,''Ž¡Phys.–,ÍRev.“Lett.“{\bf“61,}“2445--2448“(1988).Ž¡\end{references}Ž¡ŽŸ’ä Û33ŽŽŒ‹"Ñ ¯î™ ý7g ªî™ ýÕ©}Ÿ ”ÒFig.–ió1.‘ó5The“dark“solitons“generated“bš²!y“the“w˜a˜v˜eguide“Mac˜h-Zehnder“in˜terferometer.‘É·The“ampli-Ž¤ÿ[tude–®of“the“input“cw“lighš²!t“is“c˜hosen“to“bMÞe“Óa–vÒ=“Ód“=Ò2–®for“(a)-(c).‘ôëThe“parameter“Ó‘,Òis“(a)“0.8,‘°(b)“0.5,Ž¡and–9€(c)“0.2.›—*P²!art“(d)“is“the“case“of“optimal“opMÞeration“when“Óa–ÿÑÒ=“1Ó:Ò33,‘^Fand‘9€Ó‘ièÒ=“0Ó:Ò7.˜In–9€all“cases,Ž¡the–E4output“pulse“shapMÞes“are“plotted“as“solid“curvš²!es“while“the“dashed“curv˜es“are“input“pulse“shapMÞes.Ž¡The–¦fpulses“sho²!wn“here“are“at“a“propagation“distance“of“Óz‘…ðÒ=‘ §4.ŽŽ ƒT㟠”Fig.–‚2.‘ó5Dark“solitons“under“constan²!t“gain.‘Ñ‘Pulse“shapMÞes“(solid)“when“=0.05“(a)“and“1(b),‘ˆãafterŽ¤ÿ[certain–lpropagation“distance,–w²z=1.6,“as–lcompared“to“input“pulse“shapMÞes“(dashed).‘Êh(c):‘À­The“pulseŽ¡duration,›BŸrelativ²!e–#ato“its“input,˜as“a“function“of“Óz‘žªÒat“v‘ÿdDarious“.‘TÎThe“solid“curv²!e“is“the“adiabaticŽ¡approš²!ximation–׊obtained“b˜y“pšMÞerturbation“metho˜d.‘qHThree“v‘ÿdDalues“of““are“used:‘@%“=“0.05“(dotted);Ž¡0.2–¦f(dash-dotted);“and“1“(dashed).‘ÝÝNegativ²!e“z“depicts“the“case“of“loss.ŽŽ ƒðžŸ ”Fig.–YO3.‘·FThe“pulse“shapMÞes“of“ampli ed“dark“solitons.‘ö˜(a)“Ó‘žìÒ=–4Õ0Ó:Ò5,›† Ó ‘ÈÇÒ=“2Ól7)nÒ1Ó:Ò05,˜Ÿ¤zÁpŽ‘Ç]ÓL“Ò=“2,˜afterŽ¤ÿ[8–¥amplifying“cycles“(solid);‘9Å(b)“Ó‘|Ò=–®e0Ó:Ò5,›!5Ó ‘BWÒ=“2Ól7)nÒ1Ó:Ò02,˜Ÿ¤zÁpŽ‘Ç]ÓL“Ò=“2,˜after–¥16“amplifying“cycles“(solid);Ž¡(c)‘ÞñÓ‘ÒúÒ=–hã0Ó:Ò5,›íÓ ‘üÕÒ=“2Ól7)nÒ1Ó:Ò02,˜Ÿ¤zÁpŽ‘Ç]ÓL“Ò=“0Ó:Ò5,˜after–Þñ16“amplifying“cycles“(solid);‘û6(d)“The“input“pulse“is“theŽ¡same–Ias“in“Fig.›¾Æ1(c),–[ÇÓ ‘ž™Ò=‘ §2Ól7)nÒ1Ó:Ò05,“after–I8“ampli cation“p•MÞerio“ds–I(solid).˜The“input“pulse“shapMÞes“areŽ¡plotted–¦fas“dashed“curv²!es.ŽŽŸkUˆŸ¸ïFig.–<4.‘g2(a)“The“shapMÞe“of“a“fundamen²!tal“dark“soliton“after“a“propagation“distance“of“40“(solid).Ž¤ÿ[The–­normalized“time“delaš²!y“ÓŸÈ®ÁdŽ‘Ò=‘½r0Ó:Ò01.‘²The“dashed“curv˜e“is“the“input“pulse“shapMÞe.‘²(b)“The“traceŽ¡of–¦ôthe“soliton“(solid)“as“a“function“of“propagation“distance“for“the“situation“describMÞed“b²!y“(a).‘߈TheŽ¡dotted–¦fcurvš²!e“represen˜ts“the“case“for“a“fundamen˜tal“brigh˜t“soliton“under“similar“conditions.ŽŽŽŸ’ä Û34ŽŽŒ‹#+ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\begin{figure}Ž¡\caption{The–,Ídark“solitons“generated“by“the“waveguideŽ¡Mach-Zehnder–,Íinterferometer.‘ YšThe“amplitude“of“the“input“cwŽ¡light–,Íis“chosen“to“be“$“a“=› Yš\pi“/2“$“for“(a)-(c).˜TheŽ¡parameter–,Í$“\delta“$“is“(a)“0.8,“(b)“0.5,“and“(c)“0.2.‘ YšPart“(d)“is“the“caseŽ¡of–,Íoptimal“operation“when“$“a“=› Yš1.33“$,“and“$“\delta˜=˜0.7“$.˜In“allŽ¡cases,–,Íthe“output“pulse“shapes“are“plotted“as“solid“curves“whileŽ¡the–,Ídashed“curves“are“input“pulse“shapes.‘ YšThe“pulses“shown“here“are“at“aŽ¡propagation–,Ídistance“of“$“z– Yš=“4‘,Í$.}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{Ž¡Dark–,Ísolitons“under“constant“gain.‘ YšPulse“shapes“(solid)“when“$\Gamma$=0.05Ž¡(a)–,Íand“1(b),“after“certain“propagation“distance,“$\Gamma$z=1.6,“asŽ¡compared–,Íto“input“pulse“shapes“(dashed).“(c):“The“pulse“duration,“relativeŽ¡to–,Íits“input,‘ Yšas“a“function“of“$\Gamma“z$“at“various“$\Gamma$.Ž¡The–,Ísolid“curve“is“the“adiabatic“approximation“obtained“by“perturbationŽ¡method.–,ÍThree“values“of“$\Gamma$“are“used:“$\Gamma$“=“0.05“(dotted);Ž¡0.2–,Í(dash-dotted);“and“1“(dashed).“Negative“$\Gamma$z“depicts“the“caseŽ¡of‘,Íloss.}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{Ž¡The–,Ípulse“shapes“of“amplified“dark“solitons.“(a)“$“\delta– Yš=“0.5‘,Í$,Ž¡$›,Í\beta– Yš=“2˜ln˜1.05˜$,˜$˜\Gamma_p˜L“=“2˜$,˜after˜8˜amplifying˜cyclesŽ¡(solid);–,Í(b)“$“\delta– Yš=“0.5–,Í$,“$“\beta– Yš=“2–,Íln“1.02“$,“$“\Gamma_p“LŽ¡=› Yš2–,Í$,“after“16“amplifying“cycles“(solid);“(c)“$“\delta˜=˜0.5“$,Ž¡$›,Í\beta– Yš=“2˜ln˜1.02˜$,˜$˜\Gamma_p˜L“=“0.5˜$,˜after˜16˜amplifyingŽ¡cycles–,Í(solid);“(d)“The“input“pulse“is“the“same“as“in“Fig.“1(c),Ž¡$›,Í\beta– Yš=“2˜ln˜1.05˜$,˜after˜8˜amplification˜periods˜(solid).“TheŽ¡input–,Ípulse‘ Yšshapes“are“plotted“as“dashed“curves.}Ž¡\end{figure}Ž¡\begin{figure}Ž¡\caption{Ž¡(a)–,ÍThe“shape“of“a“fundamental“dark“soliton“after“a“propagation“distanceŽ¡of–,Í40“(solid).“The“normalized“time“delay“$“\tau_d– Yš=“0.01›,Í$.“The˜dashedŽ¡curve–,Íis“the“input“pulse“shape.“(b)“The“trace“of“the“soliton“(solid)Ž¡as–,Ía“function“of“propagation“distance“for“the“situation“described“by“(a).Ž¡The–,Ídotted“curve“represents“the“case“for“a“fundamental“bright“solitonŽ¡under–,Ísimilar“conditions.}Ž¡\end{figure}Ž¡ŽŸ’ä Û35ŽŽŒ‹$Q ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÒT‘ÿeable‘2.‘Amplitudes–¦fof“Secondary“Ev²!en“Dark“PulsesŽŽŽŸ‡w‰ffÔ¤ÌT’™GUInput–¦fPulse“ShapMÞeŽŽŸ™l‘FJH„ff&e·ŽŽŸezÁnŽ‘¨PÒV‘ÿealuesŽ‘HJHÓŸ¤zÀ0Ž‘ÀÔjÒtanhŽ‘æiÓtÔjŽ’µcÓŸ¤zÀ0Ž›ÀÒ[1–nìÔ“ÒexpŽ‘)™(ÔÓtŸü¾À2Ž˜Ó=Ÿ¤zÁgŽŽ‘ žlŸü¾À2Ž‘^pÒ)]Ÿü¾À1Á=À2ŽŽ’± ÓŸ¤zÀ0Ž‘ÀÒ[1–nìÔ“Òsec²!hŽ‘CÔ(Ót=Ÿ¤zÁsŽ‘n<Ò)]Ž’…üAvg.Ž’¶ RangeŽŽŸ ™l‰ffÔ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ1ŽŽ‘TÒ0.34Ž’»Á‡0.30Ž’7tÓ0.21Ž’†¡R0.28Ž’·hƒÔÒ25%ŽŽ¤ÿZ‘ÿ#Ÿ¤zÀ2ŽŽ‘TÒ1.56Ž’»Á‡1.41Ž’7tÓ1.26Ž’†¡R1.41Ž’·hƒÔÒ11%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ3ŽŽ‘TÒ2.47Ž’»Á‡2.26Ž’7tÓ2.28Ž’†¡R2.34Ž’¼âÔÒ6%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ4ŽŽ‘TÒ3.52Ž’»Á‡3.25Ž’7tÓ3.31Ž’†¡R3.36Ž’¼âÔÒ6%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ5ŽŽ‘TÒ4.45Ž’»Á‡4.26Ž’7tÓ4.42Ž’†¡R4.38Ž’¼âÔÒ6%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ6ŽŽ‘TÒ5.52Ž’»Á‡5.35Ž’7tÓ5.50Ž’†¡R5.50Ž’¼âÔÒ5%ŽŽŸ ™l‰ffÔŽŸ’ä Û36ŽŽŒ‹%"… ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\begin{table}Ž¡\caption{Amplitudes–,Íof‘ YšSecondary“Even“Dark“Pulses}Ž¡\begin{tabular}{cccccr}Ž¡&&Input–,ÍPulse“Shape&&&\\Ž¡\cline{2-4}Ž¡$\Delta_n$Values&$\kappa_0|{\rm–,Ítanh}t|$&$\kappa_0[1-{\rm“exp}(-t^2/Ž¡{\tau_g}^2)]^{1/2}$&$\kappa_0[1-{\rm‘,Ísech}(t/\tau_s)]$&Avg.&Range\\Ž¡\tablelineŽ¡$\Delta_1$&0.34&0.30&0.21&0.28&$\pm–,Í25\%$“\\Ž¡$\Delta_2$&1.56&1.41&1.26&1.41&$\pm–,Í11\%$“\\Ž¡$\Delta_3$&2.47&2.26&2.28&2.34&$\pm–,Í6\%$“\\Ž¡$\Delta_4$&3.52&3.25&3.31&3.36&$\pm–,Í6\%$“\\Ž¡$\Delta_5$&4.45&4.26&4.42&4.38&$\pm–,Í6\%$“\\Ž¡$\Delta_6$&5.52&5.35&5.50&5.50&$\pm–,Í5\%$“\\Ž¡\end{tabular}Ž¡\end{table}Ž¡¡\end{document}Ž¡ŽŸ’ä Û37ŽŽŒ‹&&B ¯î™ ý7g ªî™ ýzf‘ ÙbëADesigning–zádigital“optical“computing“systems:‘£Öp‘Š=o–ÿuÂw“erŽ¤ÿZ‘y­•distribution–záand“cross“talkŽŸusing“a“graph-theoretic“mošMÞdel.‘IDevices“are“mo˜deled“as“directed“graphsŽ¡‘!éwith–…noMÞdes“represenš²!ting“inputs“and“outputs,‘ŸKand“edges“are“w˜eigh˜ted“with“the“pMÞo˜w˜erŽ¡‘!érelationships›YYbMÞet•²!w“een˜no•MÞdes.‘Ä.Systems˜are˜mo“deled˜b•²!y˜in“terconnecting˜the˜individualŽ¡‘!édevice–Bgraphs“in“a“manner“that“re ects“the“connectivit²!y“of“the“system.‘*pA‘%system'sŽ¡‘!épMÞo•²!w“er–>budget“is“ecienš²!tly“computed“b˜y“a“depth- rst“searc˜h“of“its“graph.‘˜eThe“al-Ž¡‘!égorithms›yha•²!v“e˜b•MÞeen˜incorp“orated˜in²!to˜an˜optical˜computer-aided˜design˜system˜thatŽ¡‘!éis–#¦noš²!w“bMÞeing“used“to“design“a“bit-serial“optical“computer“con˜taining“h˜undreds“ofŽ¡‘!écompMÞonen²!ts.Ž¡‘2¶ÝKey–Ý”w²!ords:‘L:Optical“computing,›ë`optical“systems,˜optical“comm•²!unications,˜pMÞo“w“erŽ¡‘!éloss,–¦fcross“talk,“graphs.ŽŽŸ’ä Û38ŽŽŒ‹')$ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­á\documentstyle[osa,aplop,manuscript]{revtex}‘ Yš%–,ÍDON'T“CHANGE“%Ž¡\newcommand{\MF}{{\large{\manual–,ÍMETA}\-{\manual“FONT}}}Ž¡\newcommand{\manual}{rm}‘1fh%–,ÍSubstitute“rm“(Roman)“font.Ž¡\newcommand\bs{\char–,Í'134“}‘à%“add“backslash“char“to“\tt“font“%Ž¡%Ž¡\begin{document}‘bÌÐ%–,ÍINITIALIZE“-“DONT“CHANGEŽ¡¡\title{Designing–,Ídigital“optical“computing“systems:‘% ÎpowerŽ¡distribution–,Íand“cross“talk}Ž¡¡\author{Jonathan–,ÍP.“Pratt“and‘% ÎVincent“P.“Heuring}Ž¡¡\address{Ž¡When–,Íthis“work“was“performed,“both“the“authors“were“with“theŽ¡Boulder‘àOptoelectronic–,ÍComputing“Systems“Center‘% ÎandŽ¡Department–,Íof“Electrical“and“Computer“Engineering,“University“ofŽ¡Colorado,‘% ÎCampus–,ÍBox“425,“Boulder,“Colorado“80309-0425.“TheyŽ¡are–,Ínow“with– Yšthe“Department–,Íof“Radiology,“University“of‘ YšColoradoŽ¡Health–,ÍSciences“Center,“Box‘ YšA034,“4200“East“Ninth“Avenue,“Denver,Ž¡Colorado–,Í80262.“}Ž¡¡\maketitleŽ¡¡\begin{abstract}Ž¡‘ YšComplex–,Íoptical“computer“designs“must“implicitly“or“explicitlyŽ¡allow‘+9›for–,Ípower“budgeting,“to“compensate“for“cross“talk“andŽ¡loss–,Íin“both‘+9›devices“and“interconnections.‘ YšWe“developŽ¡algorithms–,Ífor‘+9›calculating“the“system‘ Yšcross“talkŽ¡and–,Ípower“loss“in“optical“systems,‘+9›using“a“graph-theoreticŽ¡model.‘ YšDevices–,Íare“modeled“as“directed‘+9›graphs“with“nodesŽ¡representing–,Íinputs“and“outputs,“and“edges“are‘+9›weighted“withŽ¡the–,Ípower“relationships“between“nodes.‘ YšSystems“are‘+9›modeledŽ¡by–,Íinterconnecting“the“individual“device“graphs“in“a“mannerŽ¡that–,Íreflects“the“connectivity“of“the“system.‘ YšA“system's“powerŽ¡‘†gbudget–,Íis“efficiently“computed“by“a“depth-first“search“of“itsŽ¡graph.‘+9›The–,Íalgorithms“have“been“incorporated“into“an“opticalŽ¡computer-aided–,Ídesign“system“that‘+9›is“now“being“used“toŽ¡design–,Ía“bit-serial“optical“computer‘+9›containing“hundreds“ofŽ¡components.Ž¡¡–,ÍKey“words:“Optical“computing,“optical“systems,“opticalŽ¡communications,–,Ípower“loss,“cross“talk,“graphs.“\end{abstract}Ž¡ŽŸ’ä Û39ŽŽŒ‹(0Ê ¯î™ ý7g ªî™ ýxg×1.Ž‘–“In¦ttroY‹ductionŽ©&9MÛW‘ÿVe–¬describSŽe“a“tec¬rhnique“that“facilitates“the“design“of“digital“optical“computers“and“otherŽ¤ÿZcomplex–9aoptical“circuitry‘ÿV,‘\Õsucš¬rh“as“optical“comm˜unications“systems.‘ýÈAlthough“there“has“bSŽeenŽ¡some–fÁdiscussion“in“the“literature“of“pSŽo•¬rw“er–fÁbudgeting“in“optical“systems,Ÿû¥2À1Á;À2Ž‘Ã=Ûthe“treatmen¬rt“hasŽ¡bSŽeen–ê¨limited“to“relativ¬rely“uncomplicated“applications,“.–õT.“.ŽŸ.Â×2.Ž‘dP•¦to“w“er–2Loss“and“Cross“T‘þó\alk“in“the“SystemŽ¦A.Ž‘iÆIn¦ttroY‹ductionŽ¦ÛAppropriate–ÿÞsignal“levš¬rels“m˜ust“bSŽe“main˜tained“in“an˜y“digital“optical“system“that“uses“signalŽ¡levš¬rel–æthresholds“to“encoSŽde“transmitted“information.‘7‡Usually“a“high-lev˜el“signal“represen˜ts“aŽ¡logic–jþ1“and“a“lo•¬rw-lev“el–jþsignal“represenš¬rts“a“logic“0.‘RIn“these“systems“the“device“c˜haracteristicsŽ¡of–ê¨impšSŽortance“are“p˜o•¬rw“er–ê¨loss“and“cross“talk.Ž¡‘Ÿô.–õT.“.ŽŸ.Â×B.Ž‘§,P•¦to“w“er›2Lev“els˜and˜Correct˜Device˜OpY‹erationŽ¦ÛHere–V¤wš¬re“discuss“the“t˜ypšSŽe“of“p˜o•¬rw“er–V¤information“desired“from“a“system“mo˜del.‘ |ÕSince“theŽ¡ob‘§jectivš¬re–*±is“to“ nd“w˜eak“pSŽoin˜ts“in“the“system“pSŽo˜w˜er“ o˜w,‘:³only“pSŽo˜w˜er“extremes“are“consid-Ž¡ered.‘£OP•¬ro“w“er–"extremes“are“the“cross“talk“and“signal“levš¬rels“obtained“when“the“w˜orst“pSŽossibleŽ¡comš¬rbinations–ê¨of“device“states“and“input“pSŽo˜w˜er“lev˜els“are“assumed.Ž¡‘Ÿô.–õT.“.“The›r1w•¬reak“est˜1˜arriving˜at˜the˜detection˜pSŽoin“t˜under˜all˜conditions˜from˜all˜pSŽossibleŽ¡paths– Çto“the“pSŽoin¬rt“is“de ned“as“ÜPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Û,›RÏand“similarly‘ÿV,˜the“strongest“0“is“de ned“as“ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÛ.Ž¡PropšSŽer–ê¨device“op˜eration“can“b˜e“ensured“if“the“follo¬rwing“relations“are“met:ŽŸ#ÿZÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘Ë~Ü<–9¤PŸÌÌÁSr}À2Ž›—ŠÜ<“PŸÌÌÁDŽ‘ ïHÜ<“PŸÌÌÁSr}À1Ž˜Ü<“PŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Ü:’‘Û(1)ŽŽŽŸ’ä 40ŽŽŒ‹)92 ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­‘ Yšá\section{‘,ÍIntroduction}Ž¡‘=ÀWe–,Ídescribe“a“technique“that“facilitates“the“designŽ¡–,Íof“digital“optical“computers“and“other“complex“optical“circuitry,Ž¡–,Ísuch“as“optical“communications“systems.‘ YšAlthough“there“hasŽ¡been–,Ísome“discussion“in“the“literature“of“power“budgeting“inŽ¡optical–,Ísystems,\cite{1,2}“the“treatment“has“been“limited“toŽ¡relatively–,Íuncomplicated“applications,“\ldotsŽ¡¡¡¡‘†g\section{Power–,ÍLoss“and“Cross“Talk“in“the“System}Ž¡¡\subsection{‘,ÍIntroduction}Ž¡Appropriate–,Ísignal“levels“must“be“maintained“in“any“digitalŽ¡optical–,Ísystem“that“uses“signal“level“thresholds“to“encodeŽ¡transmitted–,Íinformation.‘ YšUsually“a“high-level“signal“represents“aŽ¡logic–,Í1“and“a“low-level“signal“represents“a“logic“0.‘ YšIn“theseŽ¡systems–,Íthe“device“characteristics“of“importance“are“powerŽ¡loss–,Íand“cross“talk.Ž¡¡\ldotsŽ¡¡\subsection{Power–,ÍLevels“and“Correct“Device“Operation}Ž¡Here–,Íwe“discuss“the“type“of“power“information“desired“from“aŽ¡system–,Ímodel.‘ YšSince“the“objective“is“to“find“weak“points“in“theŽ¡system–,Ípower“flow,“only“power“extremes“are“considered.‘ YšPowerŽ¡extremes–,Íare“the“cross“talk“and“signal“levels“obtained“whenŽ¡the–,Íworst“possible“combinations“of“device“states“and“inputŽ¡power–,Ílevels“are“assumed.Ž¡¡\ldots‘1fhThe–,Íweakest“1‘ Yšarriving“at“theŽ¡detection–,Ípoint“under“all“conditions“from“all“possible“pathsŽ¡to–,Íthe“point“is“defined“as“$P_{1\rm“min}$,“and“similarly,“theŽ¡strongest–,Í0“is“defined“as“$“P_{0\rm“max}$.‘ YšProperŽ¡device–,Íoperation“can“be‘ Yšensured“if“the“following“relationsŽ¡are‘,Ímet:Ž¡\begin{equation}‘% ÎP_{0\rm–,Ímax}“<“P_{S2}“<“P_{D}‘ Yš<Ž¡P_{S1}–,Í<“P_{1\rm“min}.\label{p0}“\end{equation}Ž¡ŽŸ’ä Û41ŽŽŒ‹*@í ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛIt–7ois“also“desirable“to“ha•¬rv“e–7oinformation“abšSŽout“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ,‘J¡the“maxim¬rum“p˜o•¬rw“er›7olev“el˜that˜canŽ¤ÿZošSŽccur–|}at“the“inputs“to“a“giv¬ren“device.‘'A‘|ap˜o•¬rw“er–|}detector“maš¬ry“pro˜vide“erroneous“results“whenŽ¡the›MpSŽo•¬rw“er˜of˜a˜logic˜1˜arriving˜at˜a˜detection˜pSŽoin“t˜is˜toSŽo˜large;‘  that˜is,‘öwhen˜ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘S#ÛexceedsŽ¡ÜPŸÌÌÁDŽ‘ CpÛbš¬ry–Ìsome“large“amoun˜t.‘ìA‘´second“and“more“impSŽortan˜t“reason“for“computing“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘ߢÛis“thatŽ¡it– makš¬res“the“ma‘§jor“con˜tribution“to“cross“talk,‘oas“discussed“bSŽelo˜w.‘$Kno˜wledge“of“the“pSŽo˜w˜erŽ¡triple–©×ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÜ;‘ÿþPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Ü;“Ûand“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘û­Ûat“eacš¬rh“device“in“a“system“pSŽermits“the“trac˜king“of“pSŽo˜w˜er“lev˜elsŽ¡throughout–ê¨the“en¬rtire“system.ŽŸ.Â×C.Ž‘üÃMoY‹deling–2the“DeviceŽŸ&9MÛHere–K3wš¬re“discuss“the“means“for“calculating“the“pSŽo˜w˜er“triples“ÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÜ;‘ßúPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Ü;“Ûand“ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘ Ûat“theŽ¡outputs–ê¨of“a“givš¬ren“device,“giv˜en“the“v‘ÿXäalues“of“the“triples“at“eac˜h“of“its“inputs.‘8à.–õT.“.Ž¡‘Ÿô.–õT.“.“The›°‹pSŽo•¬rw“er˜triple˜for˜the˜Üj‘¬ÓÛth˜output˜of˜a˜device˜is˜computed˜from˜the˜input˜triplesŽ¡and–ê¨the“coupling“terms“as“follo¬rws:ŽŸ#ÿZ‘§ÜPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Û(outŽ‘øØ)ŸÌÌÁjŽŽŽ‘=ükÛ=ŽŽ‘\…minŽŽŽŸÿZ‘MuEÜs–URÝ2“ÛstatesŽŽŽŽ’„*!Ýf‘<öÛminŽŽŽŸÿZ‘ÿþinputsŽ‘' ÜiŽŽŽ‘1d‡Û[ÜPŸÌÌÀ1minŽ‘ê¼Û(inŽ‘ ʤ)ŸÌÌÁiŽ‘‚Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ–JäÛ(ÜsÛ)]ÝgÜ;‘ÿþLŸÌÌÁijŽ“Û(ÜsÛ)–ª¤Ý2“ÛlossŽ‘ Ü;ŽŽ’Äü|Û(2)ŽŽŽŽŸ/2pÜPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÛ(outŽ‘øØ)ŸÌÌÁjŽŽŽ‘=ükÛ=ŽŽ‘[`ŸmaxŽŽŽŸÿZ‘MuEÜs–URÝ2“ÛstatesŽŽŽŽ’Œ°ÛŸõÿü«XŽŽŸ $’†*ÀinputsŽ’žÄ†ÁiŽŽŸäÿ𒣩^«8ŽŸ ’£©^>Ž¤’£©^>Ž¡’£©^<ŽŸ ’£©^>Ž¡’£©^>Ž¡’£©^:ŽŽŸõÌú’¯ŒíÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ(in)Ž‘#@Ÿ€ÁiŽ‘)O„Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ–JäÛ(ÜsÛ)›URÜ;‘UPLŸÌÌÁijŽ“Û(ÜsÛ)˜Ý2˜Ûcross‘ÿþtalkŽ‘2-ºÜ;ŽŽ¡’¯ŒíPŸÌÌÀ0maxŽ‘‘ÚÛ(inŽ‘ ʤ)ŸÌÌÁiŽ‘‚Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ–JäÛ(ÜsÛ)›URÜ;‘UPLŸÌÌÁijŽ“Û(ÜsÛ)˜Ý2˜ÛlossŽ‘½ÎÜ;ŽŽŽŽŽŽ’Äü|Û(3)ŽŽŽŽŸ)Ìd‘@ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ(outŽ‘øØ)ŸÌÌÁjŽŽŽ‘=ükÛ=ŽŽ‘[`ŸmaxŽŽŽŸÿZ‘MuEÜs–URÝ2“ÛstatesŽŽŽŽ’Œ°ÛŸõÿü«XŽŽŸ $’†*ÀinputsŽ’žÄ†ÁiŽŽ’£©^ÜPŸÌÌÀmaxŽ‘QÖÛ(in)Ž‘#@Ÿ€ÁiŽ‘)O„Ý‘ª¨ÜLŸÌÌÁijŽ‘JäÛ(ÜsÛ)Ü:ŽŽ’Äü|Û(4)ŽŽŽŽŽŸ’ä 42ŽŽŒ‹+H ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­áIt–,Íis“alsoŽ¡desirable–,Íto“have“information“about“$“P_{\rm“max}“$,“the“maximumŽ¡‘³4power–,Ílevel“that“can“occur“at“the“inputs“to“a“given“device.‘ YšAŽ¡power‘+9›detector–,Ímay“provide“erroneous“results“when“the“powerŽ¡of–,Ía“logic“1‘³4arriving“at“a“detection“point“is“too“large;Ž¡that–,Íis,“when“$“P_{\rm“max}“$› Yšexceeds“$“P_D“$˜by“some“largeŽ¡amount.‘ YšA–,Ísecond“and“more“important“reason‘+9›for“computing“$Ž¡P_{\rm–,Ímax}“$‘ Yšis“that“it“makes“the“major“contribution“toŽ¡cross–,Ítalk,“as“discussed“below.‘ YšKnowledge“of“the‘+9›powerŽ¡triple–,Í$“P_{0\rm“max},“P_{1\rm“min},“$“and“$“P_{\rm“max}“$Ž¡at–,Íeach“device“in“a“system‘+9›permits“the“tracking“of“powerŽ¡levels–,Íthroughout“the“entire“system.Ž¡¡¡¡¡\subsection{–,ÍModeling“the“Device}Ž¡Here–,Íwe“discuss“the“means“for“calculating“the“power“triplesŽ¡$–,ÍP_{0\rm“max},\kern.5em“P_{1\rm“min},“$“and“$“P_{\rm“max}$Ž¡‘ Yšat–,Íthe“outputs“of“a“given“device,“given“the‘+9›values“of“theŽ¡triples–,Íat“each“of“its“inputs.‘ Yš\ldotsŽ¡¡\ldots–,ÍThe“power“triple“for“the“$j$th“output“of“a“device“isŽ¡computed‘+9›from–,Íthe“input“triples“and“the“coupling“terms“asŽ¡follows:‘,Í\begin{eqnarray}’¦¹ŸP_{1\rmŽ¡min}({\rm–,Íout})_j“&“=“&“\begin{array}[t]{c}{\rm“min}“\\[-15pt]Ž¡{s\in\rm–,Ístates}“\end{array}\,“\{“\,‘ Yš\begin{array}[t]{c}{\rm“min}Ž¡\\[-15pt]–,Í{\rm“inputs}\,“i“\end{array}“\;‘ Yš[P_{1\rm“min}({\rm“in})_iŽ¡-–,ÍL_{ij}(s)]\},“L_{ij}(s)“\;“\in“\;‘ Yš{\rmŽ¡loss},\label{p1min}–,Í\\“P_{0\rm“max}({\rm“out})_j“&“=&Ž¡\begin{array}[t]{c}{\rm–,Ímax}“\\[-15pt]“{s\in\rm“states}Ž¡\end{array}\,–,Í\sum_{{\rm“inputs}\,“i}\left\{Ž¡\begin{array}{l}P_{\rm–,Ímax}{\rm“(in)}_i“-“L_{ij}(s)\;‘ Yš,\;Ž¡L_{ij}(s)\in–,Í{\rm“cross\,“talk},\label{p0max}“\\‘ YšP_{0\rm“max}({\rmŽ¡in})_i–,Í-“L_{ij}(s)\;“,\;“L_{ij}(s)\in“{\rm“loss},‘†g\end{array}Ž¡\right.–,Í\\“P_{\rm“max}({\rm“out})_j“&=&“\begin{array}[t]{c}{\rmŽ¡max}–,Í\\[-15pt]“{s\in\rm“states}“\end{array}\,“\sum_{{\rm“inputs}\,Ž¡i}‘ YšP_{\rm–,Ímax}{\rm“(in)}_i“-“L_{ij}(s)“.“\label{pmax}Ž¡\end{eqnarray}Ž¡ŽŸ’ä Û43ŽŽŒ‹,Qu ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘ŸôÛEquation–YÜ(2)“states“that“the“pSŽo•¬rw“er–YÜof“the“minim¬rum“1“emerging“from“the“ÞjÛth“output“ofŽ¤ÿZthe–Þdevice“will“bSŽe“the“minimš¬rum“o˜v˜er“all“pSŽossible“states“of“the“minim˜um“o˜v˜er“all“pSŽossibleŽ¡inputs–ÿ2haš¬rving“loss“terms“of“the“minim˜um“1's“arriving“at“those“inputs“min˜us“the“loss“terms.Ž¡Equation–”(3)“states“that“the“pSŽo•¬rw“er–”of“the“maxim¬rum“0“emerging“from“the“ÞjÛth“output“of“theŽ¡device–ê¨will“bSŽe“the“maximš¬rum“o˜v˜er“all“pSŽossible“states“of“the“sum“of“the“inputs“.–õT.“.Ž©.Â×D.Ž‘ŒÐMoY‹deling–2the“SystemŽŸ&9MÛIn–1®this“section“wš¬re“extend“the“applicabilit˜y“of“the“device“graph“moSŽdel“to“complete“systems.Ž¡.–õT.“.Ž¦×3.Ž‘dDiscussionŽŸ&9MÛThe–®tec¬rhnique“describšSŽed“ab˜o•¬rv“e–®is“indisp˜ensable“in“designing“complex“optical“systems“whoseŽ¡compSŽonen•¬rts›å÷ha“v“e˜signi can“t˜nonidealities.‘*ÌIt˜has˜b•SŽeen˜incorp“orated˜in¬rto˜a˜digital˜opticalŽ¡computer-assisted–“ëdesign“system,‘¥DHA‘ÿVTCH,Ÿû¥2À10Ž‘ “óÛwhere“it“has“pro•¬rv“en›“ëin“v‘ÿXäaluable˜in˜the˜design˜ofŽ¡optical–…Ïcounš¬rters“and“an“optical“dela˜y“line“memory“system.‘BIt“is“no˜w“bSŽeing“used“in“designingŽ¡a–ê¨bit-serial“optical“computer“no¬rw“under“construction“in“our“labSŽoratories.‘8à.–õT.“.Ž¦×A•¦tCKNO“WLEDGMENTSŽŸ&9MÛThis–(Yresearcš¬rh“w˜as“suppSŽorted“b˜y“the“National“Science“F‘ÿVoundation“Engineering“Researc˜h“Cen-Ž¡ters–»ùprogram“under“granš¬rt“CDR‘»¬8622236“and“b˜y“the“Colorado“Adv‘ÿXäanced“T‘ÿVec˜hnology“Institute.ŽŽŸ’ä 44ŽŽŒ‹-Yß ¯î™ ý7g ªî™ ýxg¤ ÿ­áEquation–,Í(\ref{p1min})“states“that“the“power“ofŽ¡the–,Íminimum“1“emerging“from“the‘†g{\it“j}th“output“of“the“device“willŽ¡be–,Íthe“minimum“over“all“possible‘+9›states“of“the“minimum“overŽ¡all–,Ípossible“inputs“having“loss“terms“of‘+9›the“minimum“1'sŽ¡arriving–,Íat“those“inputs“minus“the“loss“terms.‘1fhEquationŽ¡(\ref{p0max})–,Ístates“that“the“power“of“the‘+9›maximum“0“emergingŽ¡from–,Íthe“{\it“j}th“output“of“the“device“will“be“the‘ Yšmaximum“overŽ¡all–,Ípossible“states“of“the“sum“of“the“inputs“\ldotsŽ¡¡¡¡\subsection{–,ÍModeling“the“System}Ž¡In–,Íthis“section“we“extend“the“applicability“of“the“device‘ Yšgraph“modelŽ¡to–,Ícomplete“systems.“\ldotsŽ¡¡\section{Discussion}Ž¡The–,Ítechnique“described“above“is“indispensable“in“designingŽ¡complex–,Íoptical“systems“whose“components“have“significantŽ¡nonidealities.‘ YšIt–,Íhas“been“incorporated“into“a“digital“opticalŽ¡computer-assisted–,Ídesign‘³4system,‘ YšHATCH,\cite{10}“where“it“hasŽ¡proven–,Íinvaluable“in“the“design“of“optical‘ YšcountersŽ¡and–,Ían“optical“delay“line“memory“system.‘ YšIt“is“now“beingŽ¡used–,Íin“designing“a“bit-serial“optical“computer“now‘+9›underŽ¡construction–,Íin“our“laboratories.“\ldotsŽ¡¡¡\acknowledgmentsŽ¡This–,Íresearch“was“supported“by“the“National“Science“FoundationŽ¡Engineering–,ÍResearch“Centers‘% Îprogram– Yšunder“grant‘†gCDRŽ¡8622236–,Íand“by‘ Yšthe“Colorado‘+9›Advanced“Technology“Institute.Ž¡ŽŸ’ä Û45ŽŽŒ‹.` ¯î™ ý7g ªî™ ýxgçREFERENCESŽŸ$ÿZ‘ßüÛ1Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–“C.“P¬ralais,‘WŽÞFib›ÿffer–?ˆOptic“Communic˜ationsÛ,›WŽ2nd–“ed.“(Pren•¬rtice-Hall,˜Englew“o•SŽo“d‘“Cli 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