÷ƒ’À;è TeX output 1996.03.25:2220‹ÿÿÿÿ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘Ðó<ÂÖN ff cmbx12çGeneration,–ffpropagation,“and“ampli cation“of“dark“solitonsŽŸ#ÿ[’¨º!ó0X«Q cmr12ÛW.–ê¨Zhao“and“E.“Bourk¬ro ŽŸe¿‘›>ó*ý': ó3 cmti10ÕDep›ÿp¹artment–êêof“Ele˜ctric˜al“and“Computer“Engine˜ering,“The“University“of“South“Car˜olina,Ž¤ÿ[’šQhColumbia,–êêSouth“Car‘ÿp¹olina,“29208ŽŸMÊ<’Ï"nó9X«Q ff cmr12äAbstractŽŸ P¼‘$§ ó'Kñ`y ó3 cmr10ÒThe–!tecš²!hnique“for“generating“dark“solitons“with“constan˜t“bac˜kground“using“guided-Ž¡‘!éw•²!a“v“e›ƒïMac“h{Zehnder˜in“terferometers˜is˜further˜examined.‘Ò`Under˜optimal˜conditions,Ž¡‘!éa–Treduction“of“30%“in“bšMÞoth“the“input“optical“p˜o•²!w“er–Tand“the“driving“v²!oltage“can“b˜eŽ¡‘!éac•²!hiev“ed,‘œ¡as–š0compared“with“the“case“of“complete“moMÞdulation.‘ÙËDark“solitons“are“alsoŽ¡‘!éfound–}Eto“expšMÞerience“compression“through“ampli cation.‘byWhen“the“gain“co˜ecien²!tŽ¡‘!éis–ÞÅsmall,‘,Ýadiabatic“ampli cation“is“pšMÞossible.‘†ûRaman“ampli cation“can“b˜e“used“asŽ¡‘!éthe–X¹gain“mec²!hanism“for“adiabatic“ampli cation,‘…Nin“addition“to“bMÞeing“used“for“loss-Ž¡‘!écompMÞensation.‘mThe–¾frequency“and“time“shifts“caused“bš²!y“in˜trapulse“stim˜ulated“RamanŽ¡‘!éscattering–2are“bšMÞoth“found“to“b˜e“a“factor“of“2“smaller“than“those“for“brigh²!t“solitons.Ž¡‘!éFinally‘ÿe,–¦fthe“propagation“propšMÞerties“of“ev²!en“dark“pulses“are“describ˜ed“quan•²!titativ“ely‘ÿe.ŽŸ/]Qó,ò"V ó3 cmbx10×1.Ž‘–“INTR¦tODUCTIONŽŸ%ž}ÛNonlinear–‘+optical“pulses“can“propagate“in“dispšSŽersiv¬re“ b˜ers“in“the“form“of“brigh¬rt“and“darkŽ¡solitons–v;under“certain“conditions,‘™ as“ rst“describSŽed“bš¬ry“Zakharo˜v“and“Shabat“in“1972Ÿû¥2ó|{Ycmr8À1Ž‘ 6?ÛandŽ¡in–/~1973,Ÿû¥2À2Ž‘ï‚ÛrespšSŽectiv¬rely‘ÿV.‘bThey“are“stationary“solutions“of“the“initial“b˜oundary“v‘ÿXäalue“problemŽ¡of–Íthe“nonlinear“Sc¬rhrŽoŽŽ‘ßüdinger“equation“(NLSE).Ÿû¥2À32Ž‘ ÍÛIn“the“anomalous“dispSŽersion“regime“of“theŽ¡ bšSŽer,‘P¾under–is“appro˜ximately“half“of“the“reciproSŽcal“of“pulse“duration.‘)gF‘ÿVor“a“50“ps“dark“soliton,‘ņ10Ž¡GHz–ê¨is“required,“and“this“is“acš¬rhiev‘ÿXäable“b˜y“curren˜t“tec˜hnology‘ÿV.ŽŸ/yB×3.Ž‘dPR•¦tOP›þó\A“GA˜TION–2AND“AMPLIFICA˜TIONŽ¦ÛAs–³•discussed“in“Section“2,›¾™when“smaller“v‘ÿXäalues“of“Ü‘&ÇÛare“used,˜pulses“of“bSŽetter“c¬rharacteristicsŽ¡are–6åobtained.›–This“can“bSŽe“seen“in“Fig.˜1(d),‘Iôwhere“Üa–×Û=“1Ü:Û33–6åand“a“pure“fundamen¬rtal“darkŽ¡soliton–IŸis“generated.›2.–õT.“.“.˜.“.“.“In–IŸwhat“follo•¬rws,‘iÔw“e–IŸwill“examine“the“pSŽossibilit¬ry“of“ampli cationŽ¡and–…)compression“of“dark“solitons“with“a“constanš¬rt“gain“and“sho˜w“that“the“stim˜ulated“RamanŽ¡scattering–ê¨can“bšSŽe“used“to“amplify“dark“solitons“as“w¬rell“as“to“comp˜ensate“for“the“ b˜er“loss.Ž¡‘ŸôW‘ÿVe–ê¨ rst“examine“the“solution“of“a“moSŽdi ed“NLSE“with“a“constan¬rt“gain:ŽŸ)HÜiuŸÌÌÁzŽ‘uVÝ‘ª¨Û1Ü=Û2Ž‘JœÜuŸÌÌÁttŽ‘ N<Û+‘ª¨ÝjÜuÝjŸû ™À2Ž‘ÀÜu–URÛ=“ÜiÛÜu;ŽŽ’Äü|Û(2)ŽŽŽŽŽŸ’ç4ŽŽŒ‹!¾ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛwhere–;“is“assumed“to“bSŽe“a“constan¬rt,‘¡„appropriate“for“the“Raman“ampli cation“under“strongŽ¤ÿ[pumping–˜þwithout“depletion.› CáThe“solution“of“a“similar“equation“to“Eq.˜(2),‘“but“in“theŽ¡anomalous–ôÍdispSŽersion“regime,‘÷Vin“whicš¬rh“brigh˜t“solitons“are“ampli ed“and“compressed“b˜y“theŽ¡gain,‘has–™[bSŽeen“analyzed“bš¬ry“Blo˜w“Þet‘¿alÛ.Ÿû¥2À11Ž‘™cÛT‘ÿVo“solv˜e“the“equation,‘w˜e“mak˜e“the“follo˜wingŽ¡v‘ÿXäariable‘ê¨transformation:Ž©!‘¿ÿÜtŸû ™Â0ŽŽŽ‘ !ÀÛ=ŽŽ‘ššÜteŸû ™ÀÁzŽ‘ ¢Ü;ŽŽ’¿€Û(3a)ŽŽŽŽ¤ÿ[Üz‘ˆãŸû ™Â0ŽŽŽ‘ !ÀÛ=ŽŽŸ÷áÅ‘ÍÍÜeŸû¥2À2ÁzŽ‘NÝ‘ª¨Û1Ž‘ÍÍŸQm‰fe(VhŸ  ‘ }2ŽŽŽŽ‘CWhÜ;ŽŽ’¾udÛ(3b)ŽŽŽŽ¡‘sÜuŽ‘ !ÀÛ=ŽŽ‘ššÜvn9eŸû ™ÀÁzŽ‘ ¢Ü:ŽŽ’¿ÃœÛ(3c)ŽŽŽŽ¦–ê¨Under“this“transformation,“the“NLSE“has“the“new“formŽ¦ÜivŸÌÌÁzV…Ÿý¸äóq¡% cmsy6¼0ŽŽ‘ 'Ý‘j Ÿû ™À1Ž‘¤>Ü=‘þÓ0ŸÌÌÀ2Ž‘“4ÜvŸÌÌÁtŸý¸ä¼0Ž‘±ÇÁtŸý¸ä¼0ŽŽ‘±ÊÝ‘ª¨jÜvn9ÝjŸû ™À2Ž‘ÀÜvŽŽ‘qÛ=ŽŽ‘~ðÝŸ÷áÅ‘/›ÛÜtŸû¥2Â0ŽŽ‘33ŸQm‰fe*\±Ÿ  Û2Üz‘ˆãŸüˆ‰Â0Ž‘ÄÛ+‘ª¨1ŽŽŽŽ‘,ÃÜvŸÌÌÁtŸý¸ä¼0ŽŽ‘C‘Ü:ŽŽ’Äü|Û(4)ŽŽŽŽ¦The–Csolution“of“Eq.‘B(2)“when““=“0“is“wš¬rell“kno˜wn“and“has“the“form“expŽ‘6”[Üin9Û(Üz‘ˆã;–ÿþtÛ)]Ü“ÛtanhŽ‘ìÜtÛ,Ž¤ÿ[where–ž Ü“Ûis“the“form“factor“and“the“phase“v‘ÿXäariable“satis es“Ü@–§n9=@“z‘ŽÛ=‘†«ÜŸû¥2À2Ž‘ÀÛ.Ÿû¥2À1Ž‘ ^ÛTherefore,‘ÊæwhenŽ¡the–Ñ4righ¬rt-hand-side“of“Eq.(4)“is“zero,‘ÖKan“exact“solution“for“Üvn9Û(Üz‘ˆãŸû¥2Â0Ž‘WÜ;‘ÿþtÛ)“can“bSŽe“obtained“from“Eq.Ž¡(4).‘ô´On–)Dthe“other“hand,‘8ëwhen“Üz‘HÇÝ!›¿ä1“Ûand“hence“Üz‘ˆãŸû¥2Â0Ž‘Ý!˜1“Ûor“˜Ý!˜Û0,‘8ëthe“righ¬rt-hand“side“ofŽ¡Eq.› 8(4)–0pbSŽecomes“in nitely“small.˜Under“these“conditions,‘Aâwš¬re“can“treat“the“righ˜t-hand“sideŽ¡of–ê¨Eq.‘8à(4)“as“a“pSŽerturbation“to“the“NLSE.“.–õT.“.Ž¦ÜuÛ(Üz‘ˆã;‘ÿþtÛ)ŽŽ‘"¨Ê=ŽŽ‘/!¤expŽ‘C$Ÿîf\« Ž‘JÿÐÜiŸ÷áÅ‘33eŸû¥2À2ÁzŽ‘NÝ‘ª¨Û1Ž‘33ŸQm‰fe(VhŸ  ‘ }2ŽŽŽŽ‘*¼ÎŸîf\«!ŽŽ’ƒ©oÜeŸû ™ÀÁzŽ‘  ÛtanhŽ‘#™(ÜteŸû ™ÀÁzŽ‘ ¢Û)Ü;ŽŽ’Äü|Û(5)ŽŽŽŽ¤ÿ[‘üŽ‘"¨Ê=ŽŽ‘/!¤Ügn9Û(ÜeŸû ™ÂÀ2Ÿó;Îcmmi6»pŽ‘Z×ÁzŽ‘ûÛ+–ª¨ÜeŸû ™ÂÀ2Ÿ»pŽ‘Z×À(ÁLÂÁzV…À)Ž‘,Q½Û)“Ý“ÛŸÌÌÁsŽ‘n<Ü;ŽŽ’Äü|Û(6)ŽŽŽŽ¡‘DèÜgŽ‘"¨ÊÛ=ŽŽŸ÷áÅ‘0TןÌÌÁpŽ‘Ç]Û(ŸÌÌÁsŽ‘äÛ+‘ª¨Ü ‘ªOÛ)ÜLŽ‘0TןQm‰fe>ËÛŸ  ‘K_ÛsinhŽ‘?•(ŸÌÌÁpŽ‘Ç]ÜLÛ)ŽŽŽŽ‘pSåÜeŸû ™ÀŸ»pŽ‘Z×ÁLŽ‘ñ£Ü;ŽŽ’Äü|Û(7)ŽŽŽŽ¡‘ n1ÜÛ(Üz‘ˆãÛ)ŽŽ‘"¨Ê=ŽŽ‘/!¤ÜŸÌÌÀ0Ž‘ÀÛexpŽ‘³„(Ü ‘ªOz‘ˆãÛ)Ü:ŽŽ’Äü|Û(8)ŽŽŽŽ¦.–õT.“.Ž¤ÿ[‘ŸôIn–Î@summary‘ÿV,‘G&wš¬re“ha˜v˜e“studied“the“propagation“propSŽerties“of“dark“solitons“under“theŽ¡in uence–Àof“gain.‘Ï'The“dark“soliton“can“bSŽe“ampli ed“and“compressed“adiabatically“whenŽ¡the–û¹gain“cošSŽecien¬rt“remains“small,–?ýe.g.,“–&Ü<“Û0Ü:Û1.‘lAs–û¹the“gain“increases“ab˜o•¬rv“e–û¹this“v‘ÿXäalue,Ž¡secondary–Vfgraš¬ry“solitons“will“bSŽe“generated.‘ |Stim˜ulated“Raman“scattering“can“bSŽe“utilizedŽŽŸ’ç5ŽŽŒ‹+Π¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛto–©Øproš¬rvide“the“gain.‘vqWhen“the“proSŽduct“ŸÌÌÁpŽ‘Ç]ÜL“Ûis“k˜ept“small,‘Ù¤dark“solitons“can“bSŽe“ampli edŽ¤ÿ[adiabatically–dDwith“high“qualit•¬ry‘ÿV.‘¥´Suc“h–dDa“propSŽert¬ry“of“dark“solitons“enable“us“to“obtain“darkŽ¡solitons–ê¨with“short“durations“for“the“ease“of“observ‘ÿXäation“and“transmission.ŽŸ/¸×4.Ž‘dEFFECTS–2OF“INTRAPULSE“STIMULA›þó\TED“RAMAN“SCA˜TTERINGŽŸ%CËÛThe–BopropSŽerties“of“dark“solitons“considered“th¬rus“far“are“based“on“the“simpli ed“propaga-Ž¡tion–e4equation“(2).‘¨„When“the“pulse“duration“reac¬rhes“the“subpicosecond“regime,‘ƒ×it“bSŽecomesŽ¡necessary–bto“include“higher-order“nonlinear“and“dispSŽersivš¬re“e ects.Ÿû¥2À28Ž‘ jÛThese“e ects“represen˜tŽ¡higher-order–ÿterms“in“the“deriv‘ÿXäation“of“w•¬ra“v“e–ÿequation“from“the“Maxw¬rell's“equations.‘vIn-Ž¡trapulse–$)stim¬rulated“Raman“scattering“(ISRS)‘#Ùis“one“of“the“dominating“e ects.‘ådIt“causesŽ¡soliton–|Lself-frequency“shift“for“bSŽoth“brighš¬rt“solitonsŸû¥2À29Á;À30Ž‘XÐÛas“w˜ell“as“for“dark“solitons.Ÿû¥2À31Ž‘ |TÛSinceŽ¡its›ê¨disco•¬rv“ery˜for˜brigh“t˜solitons,Ÿû¥2À28Ž‘ ê°Ûconsiderable˜atten“tion˜has˜bSŽeen˜paid˜to˜suc“h˜e ects.‘8à.–õT.“.Ž¡‘ŸôThe–“æe ect“of“ISRS‘“ºon“brigh¬rt“solitons“is“to“shift“in“bšSŽoth“the“temp˜oral“and“sp˜ectral“do-Ž¡mains.‘ÿIt–>°has“bSŽeen“demonstrated“that“the“frequency“red“shift“of“brigh¬rt“solitons“is“linear“withŽ¡propagation–_length,›|Æat“a“rate“of“ÝÛ8ÜtŸÌÌÁdŽ‘ߨÜ=Û15ÜŸÌÌÀ0ŽŽ‘ ÚPŸû¥24Ž‘ùáÛpSŽer“unit“propagation“distance,˜where“ÜtŸÌÌÁdŽ‘ ?5Ûis“theŽ¡delaš¬ry–€time“the“nonlinear“respSŽonse“of“the“medium“(t˜ypically“6“fs)“and“ÜŸÌÌÀ0Ž‘ @ƒÛis“the“normalizedŽ¡soliton–u^duration.‘ÇThe“tempšSŽoral“shift“is“a“direct“consequence“of“the“group“v•¬relo˜cit“y‘u^disp˜ersionŽ¡of–‚Æthe“ bšSŽer.‘?The“temp˜oral“shift“w¬ras“found“to“b˜e“4ÜtŸÌÌÁdŽ‘ߨÜz‘ˆãŸû¥2À2Ž‘HçÜ=Û15ÜŸÌÌÀ0ŽŽ‘ ÚPŸû¥24Ž‘šTÛ.Ÿû¥2À33Ž‘ ‚ÎÛNote“that“the“shifting“rate“isŽ¡propšSŽortional–F,to“ÝjÜuÝjŸû¥2À4Ž‘0Ûb˜ecause“ÜŸÌÌÀ0Ž‘0Ûis“the“in•¬rv“erse–F,of“the“normalized“amplitude.‘ ISRS‘Fis“esp˜eciallyŽ¡pronounced–§Äfor“high“pšSŽeak“p˜o•¬rw“er–§Äpulses.‘"”Therefore,‘µ%when“a“higher-order“soliton“is“launc¬rhed,Ž¡the–—ñISRS‘—Üwill“cause“soliton“ ssion.Ÿû¥2À34Ž‘ —ùÛBecause“of“suc¬rh“e ects,‘¨|the“initially“bSŽound“state“ceasesŽ¡to–eexist“and“solitons“of“di eren¬rt“amplitudes“are“separated“from“one“another.‘ [The“energies“ofŽ¡these–yseparating“solitons“are“distributed“in“sucš¬rh“w˜a˜y“to“ensure“conserv‘ÿXäation“of“momen˜tum.Ž¡.–õT.“.Ž¤€*ÜiuŸÌÌÁzŽ‘uVÝ‘ª¨Û1Ü=Û2Ž‘JœÜuŸÌÌÁttŽ‘ N<Û+‘ª¨ÝjÜuÝjŸû ™À2Ž‘ÀÜuŽŽ‘g³ÊÛ=ŽŽ‘t,¤ÜŸÌÌÁdŽŸ÷áÅ‘ÛÜ@‘§ÝjÜuÝjŸû¥2À2ŽŽ‘ÛŸQm‰feõ«Ÿ  ‘î;Ü@‘§tŽŽŽŽ‘ ;¹u;ŽŽ’Äü|Û(9)ŽŽŽŽ¡.–õT.“.ŽŸÿ[‘ŸôW‘ÿVe–ê¨in¬rtrošSŽduce“a“simple“mo˜del“of“the“shift“for“fundamen¬rtal“dark“solitons:ŽŽŸ’ç6ŽŽŒ‹7– ¯î™ ý7g ªî™ ý~„öŸ÷áÅ‘33ÛdÜ!Ž‘33ŸQm‰feF\Ÿ  ‘àˆÛdÜzŽŽŽŽŽ‘Û=ŽŽŸ÷áÅ‘!®!4ÜŸÌÌÁdŽŽ‘!®!ŸQm‰feÙðŸ  ‘ üÛ15ŽŽŽŽ‘2»DÜŸû ™À4Ž‘ÀÜ;ŽŽ’¹<„Û(10a)ŽŽŽŽŸ®ÍŸ÷áÅ‘ ´dÜŽ‘ôBŸQm‰fe …MŸ  ÛdÜzŽŽŽŽŽ‘Û=ŽŽ‘ zîÜ!n9:ŽŽ’¸•hÛ(10b)ŽŽŽŽ©ô‘ê¨.–õT.“.Ž¤ÿ[‘ŸôW‘ÿVe–Bbnext“study“the“bšSŽeha¬rvior“of“dark“solitons“when“b˜oth“adiabatic“ampli cation“and“ISRSŽ¡are–ÿpresenš¬rt.‘ýFigure“6(a)“sho˜ws“the“pulse“shapSŽe“of“a“fundamen˜tal“dark“soliton“in“suc˜h“a“case.Ž¡In–Øthis“case“the“fundamenš¬rtal“dark“soliton“loses“its“amplitude“con˜trast,‘`¤as“it“doSŽes“in“Fig.Ž¡4(a),‘Êñand–Ãthe“ISRS‘ÂùtempSŽoral“shift“is“enhanced“b¬ry“the“e ect“of“adiabatic“gain.‘+©In“the“simpleŽ¡mo•SŽdel›Ó­describ“ed˜b¬ry˜Eqs.‘17(5)˜and˜(10a),‘ØFthe˜temp“oral˜shift˜b¬ry˜ISRS‘Ó§has˜the˜functional˜formŽ¦Ü‘¨àÛ=Ÿ÷áÅ‘ wCÜŸÌÌÁdŽŽ‘ˆ…ŸQm‰fe×oŸ  Û60Ÿüˆ‰À2ŽŽŽŽŽ‘“'Û(ÜeŸû ™À4ÁzŽ‘NÝ–ª¨Û1“Ý“Û4Üz‘ˆãÛ)Ü:ŽŽ’¿€Û(11)ŽŽŽŽ¦.–õT.“.Ž¡‘ŸôIn–csummary‘ÿV,‘~'the“ISRS›båcauses“a“shift“of“dark“solitons.‘ ªA˜salien¬rt“feature“of“dark“solitons“isŽ¡that–/the“rate“of“sucš¬rh“shift“is“half“the“v‘ÿXäalue“for“brigh˜t“solitons,‘Ÿáwhen“the“slo˜w“loss“of“con˜trastŽ¡is–&ˆneglected.‘ì€This“leads“to“a“bSŽetter“stabilitš¬ry“of“a“fundamen˜tal“dark“soliton“against“suc˜hŽ¡pSŽerturbations.‘}ÉHo•¬rw“ev“er,‘G_the– situation“for“higher-order“dark“solitons“is“more“complicatedŽ¡bšSŽecause–áthere“are“amplitude“c¬rhanges“asso˜ciated“with“eac¬rh“soliton.‘žThe“symmetry“of“higher-Ž¡order–µ>solitons“is“brok¬ren.‘˜£Red“secondary“solitons“gain“energy“at“the“expSŽense“of“blue“ones.Ž¡The–P£primary“soliton“ceases“to“bSŽe“a“fundamen¬rtal“dark“soliton“and“su ers“energy“losses“andŽ¡frequency–ê¨blue“shift.ŽŸ/[U×5.Ž‘dEVEN–2D¦tARK“PULSESŽŸ% yÛEvš¬ren–8dark“pulses,Ÿû¥2À18Á;À19Ž‘[¼Ûwhic˜h“are“symmetric“functions“of“time“cen˜tered“around“the“pulse,‘”´canŽ¡bSŽe–˜Msimply“generated“b¬ry“driving“the“MZI‘˜!with“a“short“electric“pulse.‘AÐIn“this“case,‘÷only“anŽ¡in•¬rtensit“y–ßmošSŽdulation“that“giv¬res“a“dip“of“optical“p˜o•¬rw“er–ßunder“the“constanš¬rt“bac˜kground“isŽ¡required.Ž¡‘ŸôThe–Ã^propagation“cš¬rharacteristics“of“ev˜en“dark“pulses“are“di eren˜t“from“those“of“oSŽdd“darkŽ¡solitons.‘F°Generally‘ÿV,‘ðievš¬ren–ïCdark“pulses“split“in˜to“pairs“of“secondary“dark“solitons“without“theŽŽŸ’ç7ŽŽŒ‹C* ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛformation–Nof“a“primary“dark“soliton.‘óThe“energy“of“the“input“dark“pulse“is“then“redistributedŽ¤ÿ[inš¬rto–[a“certain“n˜um˜bSŽer“of“paired“secondary“dark“solitons.‘ÆSecondary“dark“solitons,‘¢kwhic˜h“areŽ¡called–ê¨graš¬ry“solitonsŸû¥2À35Ž‘ ê°Ûha˜v˜e“nonzero“in˜tensit˜y“of“pulse“cen˜ters.‘8à.–õT.“.Ž¡‘ŸôIf–ê¨w¬re“de ne“the“amplitudes“of“the“secondary“soliton“pairs“asŽ¤ ¿™ÜŸÌÌÁnŽ‘ý¢Û=‘URÜŸÌÌÀ0Ž‘j¬Ý‘ª¨ÛŸÌÌÁnŽ‘¨PÜ;ŽŽ’¿€Û(12)ŽŽŽŽ¡then–ê¨the“ÜnÛth“order“secondary“pulse“shapSŽe“(n“=“1,“2,“3,“.–õT.“.“)‘8àhas–ê¨the“formŽ¡ÜuŸÌÌÁnŽ›¨PÛ(Üz‘ˆã;‘ÿþtÛ)–UR=“ÜŸÌÌÀ0ŽŸ÷áÅ‘ó7Û(ÜŸÌÌÁnŽ‘RøÝ–ª¨ÜiŸÌÌÁnŽ˜Û)Ÿû¥2À2Ž‘j¬Ý“ÜŸÌÌÁnŽ‘¨NÛexpŽ‘›Ð[2ÜŸÌÌÁnŽ˜Û(Üt“Ý“ÜtŸÌÌÁnÀ0Ž‘ ’üÝ“ÜŸÌÌÁnŽ˜Üz‘ˆãÛ)]Ž‘ó7ŸQm‰feÉÚÛŸ  ‘mÔ1–ª¨+“ÜŸÌÌÁnŽ‘¨NÛexpŽ‘›Ð[2ÜŸÌÌÁnŽ˜Û(Üt“Ý“ÜtŸÌÌÁnÀ0Ž‘ ’üÝ“ÜŸÌÌÁnŽ˜Üz‘ˆãÛ)]ŽŽŽŽ’ÑEÜeŸû ™ÁizŽ‘¯ˆÜ;ŽŽ’¿€Û(13)ŽŽŽŽ¡.–õT.“.ŽŸ/=H×6.Ž‘dCONCLUSIONSŽŸ%¾†ÛW‘ÿVe›€dha•¬rv“e˜discussed˜the˜pSŽossibilit“y˜of˜using˜the˜w“a“v“eguide˜Mac“h{Zehnder˜in“terferometer˜toŽ¤ÿ[generate–³Õa“v‘ÿXäarietš¬ry“of“dark“solitons“under“constan˜t“bac˜kground.‘”fUnder“optimal“opSŽeration,Ž¡30%–07less“input“pšSŽo•¬rw“er–07and“driving“v¬roltage“are“required“than“for“complete“mo˜dulation.‘ ŒTheŽ¡generated–'§solitons“can“ha•¬rv“e›'§go•SŽo“d˜pulse˜qualit•¬ry˜and˜stim“ulated˜Raman˜scattering˜proSŽcess˜canŽ¡bšSŽe–¤õutilized“to“comp˜ensate“for“ b˜er“loss“and“ev¬ren“to“amplify“and“compress“the“dark“solitons.Ž¡Generally–TœspšSŽeaking,‘¯when“a“constan¬rt“gain“co˜ecien¬rt“is“included“in“the“NLSE,“adiabaticŽ¡ampli cation–ê¨of“the“dark“soliton“is“pSŽossible,“as“long“as“the“gain““is“k¬rept“small“.–õT.“.Ž¡‘ŸôWhen–¶a“fundamen¬rtal“dark“soliton“is“adiabatically“ampli ed“in“the“presence“of“ISRS,“theŽ¡spšSŽectral–„^shift“and“th¬rus“the“temp˜oral“shift“folloš¬rw“a“simple“rule,–ªËEq.‘(11),“whic˜h–„^tak˜es“in˜toŽ¡consideration–jthe“expšSŽonen¬rtially“increasing“amplitude“and“linear“dep˜endence“of“the“shift“onŽ¡the–ñpropagation“distance.‘KöW‘ÿVe“ nd“that“suc¬rh“a“simple“mošSŽdel“can“accurately“describ˜e“theŽ¡bSŽehaš¬rvior–dûof“fundamen˜tal“dark“solitons“sub‘§ject“to“adiabatic“ampli cation“and“ISRS.“TheŽ¡propagation–˳propšSŽerties“of“ev¬ren“dark“pulses“are“also“studied,‘öwith“sp˜ecial“atten¬rtion“to“theŽ¡distribution–†Ñof“energies“among“secondary“gra¬ry“solitons.‘ ZDespite“their“more“complicatedŽ¡nature,‘«$our–›Cresults“demonstrate“that“the“partition“of“the“energy“is“similar“for“quite“di eren¬rtŽ¡input–‡Épulse“shapSŽes,‘›as“long“as“they“ha•¬rv“e–‡Éthe“same“bacš¬rkground“in˜tensit˜y“and“total“energy“forŽŽŸ’ç8ŽŽŒ‹ LÇ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛthe–v¬input“pulse.‘ÜëOne“can“use“the“partition“rule“obtained“here“to“predict“the“amplitude“ofŽ¤ÿ[secondary–ê¨solitons“proSŽduced“from“an“input“ev¬ren“dark“pulse.ŽŸ.€×A•¦tCKNO“WLEDGMENTSŽŸ&9NÛThe–“authors“thank“the“reviewš¬rers“for“their“constructiv˜e“commen˜ts.‘ý¢This“researc˜h“w˜as“sup-Ž¡pSŽorted–ê¨bš¬ry“National“Science“F‘ÿVoundation“gran˜t“ECS-91960-64.ŽŽŸ’ç9ŽŽŒ‹ W‘ ¯î™ ý7g ªî™ ýxgçREFERENCESŽŸ$ÿ[‘ßüÛ1Ü:ŽŽŽ‘~ÛV.–˜E.“Zakharoš¬rv“and“A.“B.“Shabat,‘)\Exact“theory“of“t˜w˜o-dimensional“self-foSŽcusing“andŽ¤ÿ[‘~one-dimensional–žAself-moSŽdulation“of“w•¬ra“v“es–žAin“nonlinear“media,"‘ (Soš¬rv.“Ph˜ys.“JETP‘Ñó5ÂÖN  cmbx12à5,Ž¡‘~Û364{372‘ê¨(1972).Ž©ÿ[‘ßü2Ü:ŽŽŽ‘~ÛV.–"SE.“Zakharoš¬rv“and“A.“B.“Shabat,‘0=\In˜teraction“bSŽet˜w˜een“solitons“in“a“stable“medium,"Ž¡‘~So•¬rv.›ê¨Ph“ys.˜JETP˜à37,˜Û823{828˜(1973).Ž¦‘ßü3Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–XšSatruma“and“N.“Y‘ÿVa‘§jima,‘uÐ\Initial“v‘ÿXäalue“problems“of“one-dimensional“self-phase“moSŽdu-Ž¡‘~lation–§ñof“nonlinear“w•¬ra“v“es–§ñin“dispSŽersivš¬re“media,"‘µIProgr.“Theor.“Ph˜ys.“Suppl.“à55,‘µIÛ284{305Ž¡‘~(1974).Ž¦‘ßü4Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.›¨Hasega•¬rw“a˜and˜F.˜T–ÿVappSŽert,‘×y\T“ransmission˜of˜stationary˜nonlinear˜optical˜pulses˜inŽ¡‘~dispšSŽersiv¬re–8dielectric“ b˜ers.“I.“Anomalous“disp˜ersion,"›¬µAppl.“Ph¬rys.“Lett.“à23,˜Û142“(1973).Ž¦‘ßü5Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.›¨Hasega•¬rw“a˜and˜F.˜T–ÿVappSŽert,‘×y\T“ransmission˜of˜stationary˜nonlinear˜optical˜pulses˜inŽ¡‘~dispšSŽersiv¬re–ê¨dielectric“ b˜ers.“I˜I.“Normal“disp˜ersion,"“Appl.“Ph¬rys.“Lett.“à23,“Û172“(1973).Ž¦‘ßü6Ü:ŽŽŽ‘~ÛL.–EÄF.“Mollenauer,›\‹R.“H.“Stolen,˜and“J.“P‘ÿV.“Gordon,˜\ExpSŽerimen¬rtal“observ‘ÿXäation“of“pico-Ž¡‘~second–)Ppulse“narroš¬rwing“and“solitons“in“optical“ bSŽers,"‘OûPh˜ys.“Rev.“Lett.“à45,‘OûÛ1095“(1980).Ž¦‘ßü7Ü:ŽŽŽ‘~ÛP›ÿV.–ßEmplit,‘-J.“P˜.“Hamaide,›-R.“Reynaud,˜C.“F–ÿVroSŽehly“,˜and–ßA.“Barthelem¬ry‘ÿV,˜\PicosecondŽ¡‘~steps–6[and“dark“pulses“through“nonlinear“single“mošSŽde“ b˜ers,"›IHOpt.“Comm¬run.“à62,˜Û374{Ž¡‘~379‘ê¨(1987).Ž¦‘ßü8Ü:ŽŽŽ‘~ÛS.–êðA.“Akhmano¬rv,›ëV.“A.“Vysloukh,˜and“A.“S.“Chirkin,˜\Self-action“of“w•¬ra“v“e›êðpac“k“ets˜in˜aŽ¡‘~nonlinear–ê¨medium“and“femš¬rtoseconds“laser“pulse,"“So˜v.“Ph˜ys.“Usp.“à29,“Û642{677“(1986).Ž¦‘ßü9Ü:ŽŽŽ‘~ÛL.– ïF.“Mollenauer,›\Solitons“in“optical“ bSŽers“and“the“soliton“laser,"˜Philos.“T›ÿVrans.“Ro¬ry˜.Ž¡‘~SoSŽc.–ê¨Lond.“A“à315,“Û437{450“(1985).Ž¦10Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–è…P‘ÿV.“Gordon,›&\In¬rteraction“forces“among“solitons“in“optical“ bSŽers,"˜Opt.“Lett.“à8,˜Û596{598Ž¡‘~(1983).ŽŽŸ’ä 10ŽŽŒ‹ Y] ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛ11Ü:ŽŽŽ‘~ÛK.–ådJ.“Blo¬rw,›¥N.“J.“Doran,˜and“Da¬rvid“W‘ÿVo•SŽo“d,˜\Generation–ådand“stabilization“of“short“solitonŽ¤ÿ[‘~pulses–‡±in“ampli ed“nonlinear“Sc¬rhrÜršSŽomanodotdotÛdinger“equation,"‘®óJ.“Opt.“So˜c.“Am.“BŽ¡‘~à5,–ê¨Û381{91“(1988).Ž©ÿ[12Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.›ŠHasega•¬rw“a,‘j\Ampli cation˜and˜reshaping˜of˜optical˜solitons˜in˜a˜glass˜ bSŽer˜{˜IV:˜UseŽ¡‘~of–ê¨the“stim¬rulated“Raman“proSŽcess,"“Opt.“Lett.“à8,“Û650{652“(1983).Ž¦13Ü:ŽŽŽ‘~ÛN.–•J.“Doran“and“K.“J.“Bloš¬rw,‘)\Solitons“in“optical“comm˜unications,"‘)IEEE‘ˆJ.“Quan˜tumŽ¡‘~Electron.–ê¨àQE-19,“Û1883{1888“(1983).Ž¦14Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.›×tHasega•¬rw“a,‘§\Numerical˜study˜of˜optical˜soliton˜transmission˜ampli ed˜p•SŽerio“dicallyŽ¡‘~bš¬ry–ê¨the“stim˜ulated“Raman“proSŽcess,"“Appl.“Opt.“à23,“Û3302{3309“(1984).Ž¦15Ü:ŽŽŽ‘~ÛL.–¤™F.“Mollenauer,›åÏJ.“P‘ÿV.“Gordon,˜and“M.“N.“Islam,˜\Soliton“propagation“in“long“ bSŽers“withŽ¡‘~p•SŽerio“dically›ê¨comp“ensated˜loss,"˜IEEE˜J.˜Quan¬rtum˜Electron.˜àQE-22,˜Û157{173˜(1986).Ž¦16Ü:ŽŽŽ‘~ÛL.–j¤F.“Mollenauer“and“K.“Smith,‘„?\Demonstration“of“soliton“transmission“o•¬rv“er–j¤more“thanŽ¡‘~4000–”‡km“in“ bšSŽer“with“loss“p˜erio˜dically“comp˜ensated“b¬ry“Raman“gain,"‘¾þOpt.“Lett.“à13,Ž¡‘~Û675{677‘ê¨(1988).Ž¦17Ü:ŽŽŽ‘~ÛL.–&(F.“Mollenauer,›5 M.“J.“NeubSŽelt,˜S.“G.“Ev‘ÿXäangelides,˜J.“P‘ÿV.“Gordon,˜J.“R.“Simpson,˜andŽ¡‘~L.–3G.“Cohen,‘¢J\ExpSŽerimenš¬rtal“study“of“soliton“transmission“o˜v˜er“more“than“10,000“km“inŽ¡‘~disp•SŽersion-shifted›ê¨ b“er,"˜Opt.˜Lett.˜à16,˜Û1203{1205˜(1990).Ž¦18Ü:ŽŽŽ‘~ÛD.–KrŽoŽŽ‘ßük¬rel,›"N.“J.“Halas,˜G.“Giuliani,˜and“D.“Grisc•¬rhk“o“wsky‘ÿV,˜\Dark-pulse–propagation“inŽ¡‘~optical–ê¨ bSŽers,"“Ph¬rys.“Rev.“Lett.“à60,“Û29{32“(1988).Ž¦19Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.–EVM.“W›ÿVeiner,‘œJ.“P˜.“Heritage,›œR.“J.“Ha¬rwkins,˜R.“N.“Th¬rurston,˜E.“M.“Kirsc¬rhner,˜D.Ž¡‘~E.– hLeaird,›Í×and“W.“J.“T‘ÿVomlinson,˜\ExpSŽerimenš¬rtal“observ‘ÿXäation“of“the“fundamen˜tal“darkŽ¡‘~soliton–ê¨in“optical“ bSŽers,"“Ph¬rys.“Rev.“Lett.“à61,“Û2445{2448“(1988).Ž¦20Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.–”M.“W›ÿVeiner,‘¥aJ.“P˜.“Heritage,›¥aand“E.“M.“Kirsc¬rhner,˜\High-resolution“fem¬rtosecond“pulseŽ¡‘~shaping,"–ê¨J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“B“à5,“Û1563{1572,“(1988).ŽŽŸ’ä 11ŽŽŒ‹ bg ¯î™ ý7g ªî™ ýxgÛ21Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–'Zhao“and“E.“Bourk¬ro ,›IG\Propagation“propSŽerties“of“dark“solitons,"˜Opt.“Lett.“à14,Ž¤ÿ[‘~Û703{705‘ê¨(1989).Ž©ÿ[22Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–uZhao“and“E.“Bourk•¬ro ,‘×µ\P“erioSŽdic–uampli cation“of“dark“solitons“using“stim¬rulatedŽ¡‘~Raman–ê¨scattering,"“Opt.“Lett.“à14,“Û808{810“(1989).Ž¦23Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–]$Zhao“and“E.“Bourk•¬ro ,‘yÃ\In“teractions›]$bSŽet“w“een˜dark˜solitons,"–yÃOpt.˜Lett.˜à14,“Û1371{Ž¡‘~1373‘ê¨(1989).Ž¦24Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–C|Zhao“and“E.“Bourkš¬ro ,‘™±\Generation“of“dark“solitons“under“cw“bac˜kground“usingŽ¡‘~w•¬ra“v“eguide–ê¨EO“moSŽdulators,"“Opt.“Lett.“à15,“Û405{407“(1990).Ž¦25Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.–ÒW.“W‘ÿVeiner,›ú]R.“N.“Th¬rurston,˜W.“J.“T‘ÿVomlinson,˜J.“P‘ÿV.“Heritage,˜D.“E.“Leaird,˜E.Ž¡‘~M.–&XKirscš¬rhner,‘uDand“R.“J.“Ha˜wkins,‘uD\T‘ÿVempšSŽoral“and“sp˜ectral“self-shifts“of“dark“opticalŽ¡‘~solitons,"–ê¨Opt.“Lett.“à14,“Û868{870“(1989).Ž¦26Ü:ŽŽŽ‘~ÛG.–ê¨P‘ÿV.“Agra•¬rw“al,‘ê¨ÞNonline–ÿffar›35Fib“er˜Optics,–ê¨ÛChapt.“5“(Academic,“Boston,“1989).Ž¦27Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–‘ŒZhao“and“E.“Bourk¬ro ,›£_\Dark“solitons:‘ Rgeneration,˜propagation,˜and“ampli cation",Ž¡‘~ÞOSA‘2YA³2nnual‘2ZMe‘ÿffeting,‘ééÛV›ÿVol.–é¹18“of“1989“OSA“T˜ecš¬rhnical“Digest“Series“(Optical“SoSŽciet˜y“ofŽ¡‘~America,–ê¨W‘ÿVashington,“D.C.,“1989),“p.“185.Ž¦28Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–4(Zhao“and“E.“Bourk•¬ro ,‘†‰\F‘ÿVem“tosecond–4(pulse“propagation“in“optical“ bSŽers:‘ËáhigherŽ¡‘~order–ê¨e ects,"“IEEE“J.“Quan¬rtum“Electron.“àQE-24,“Û356{372“(1988).Ž¦29Ü:ŽŽŽ‘~ÛF.–dM.“Mitsc•¬rhk“e–dand“L.“F.“Mollenauer,›(Ó\Disco•¬rv“ery–dof“soliton“self-frequency“shift,"˜Opt.Ž¡‘~Lett.–ê¨à11,“Û659{661“(1986);Ž¦30Ü:ŽŽŽ‘~ÛJ.–ê¨P‘ÿV.“Gordon,“\Theory“of“soliton“self-frequency“shift,"“Opt.“Lett.“à11,“Û662{664“(1986).Ž¦31Ü:ŽŽŽ‘~ÛA.–ºW.“W‘ÿVeiner,›H¾R.“N.“Th¬rurston,˜W.J.“T‘ÿVomlinson,˜J.“P‘ÿV.“Heritage,˜D.E.“Leaird,˜E.“M.Ž¡‘~Kirscš¬rhner,‘Äand–˜R.“J.“Ha˜wkins,‘Ä\T‘ÿVempšSŽoral“and“sp˜ectral“self-shifts“of“dark“optical“soli-Ž¡‘~tons,"–ê¨Opt.“Lett.“à14,“Û868{870“(1989).Ž¦32Ü:ŽŽŽ‘~ÛR.–ÉåH.“Stolen,›¦J.“P‘ÿV.“Gordon,˜W.“J.“T‘ÿVomlinson,˜and“H.“A.“Haus,˜\Raman“respSŽonse“functionŽŽŸ’ä 12ŽŽŒ‹ k­ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg‘~Ûof–ê¨silica-core“ bšSŽers,"“J.“Opt.“So˜c.“Am.“B“à6,“Û1159{1166“(1989).Ž¤ÿ[33Ü:ŽŽŽ‘~ÛK.–äJ.“Blo¬rw,›ågN.“J.“Doran,˜and“D.“W‘ÿVo•SŽo“d,˜\Suppression–äof“the“soliton“self-frequency“shiftŽ©ÿ[‘~b¬ry–ê¨bandwidth-limited“ampli cation,"“J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“B“à5,“Û1301{1304“(1988).Ž¡34Ü:ŽŽŽ‘~ÛK.–§T‘ÿVai,›!§A.“Hasega•¬rw“a,˜and–§N.“Bekki,˜\Fission“of“optical“solitons“induced“bš¬ry“stim˜ulatedŽ¦‘~Raman–ê¨e ect,"“Opt.“Lett.“à13,“Û392{394“(1988).Ž¡35Ü:ŽŽŽ‘~ÛW.–«`J.“T‘ÿVomlinson,›ÛŽR.“J.“Ha¬rwkins,˜A.“M.“W‘ÿVeiner,˜J.“P‘ÿV.“Heritage,˜and“R.“N.“Th¬rurston,Ž¦‘~\Dark–Lñoptical“solitons“with“ nite-width“bac¬rkground“pulses",‘¥„J.“Opt.“SoSŽc.“Am.“B‘L–à6,Ž¦‘~Û329{334‘ê¨(1989).ŽŽŸ’ä 13ŽŽŒ‹t¦ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg’Ïr¼ÛFIGURESŽŸt˜Ÿ ”ÒFig.–ió1.‘ó5The“dark“solitons“generated“bš²!y“the“w˜a˜v˜eguide“Mac˜h-Zehnder“in˜terferometer.‘É·The“ampli-Ž¤ÿ[tude–®of“the“input“cw“lighš²!t“is“c˜hosen“to“bMÞe“ó(  b> ó3 cmmi10Óa–vÒ=“Ód“=Ò2–®for“(a)-(c).‘ôëThe“parameter“Ó‘,Òis“(a)“0.8,‘°(b)“0.5,Ž¡and–9€(c)“0.2.›—*P²!art“(d)“is“the“case“of“optimal“opMÞeration“when“Óa–ÿÑÒ=“1Ó:Ò33,‘^Fand‘9€Ó‘ièÒ=“0Ó:Ò7.˜In–9€all“cases,Ž¡the–E4output“pulse“shapMÞes“are“plotted“as“solid“curvš²!es“while“the“dashed“curv˜es“are“input“pulse“shapMÞes.Ž¡The–¦fpulses“sho²!wn“here“are“at“a“propagation“distance“of“Óz‘…ðÒ=‘ §4.ŽŽ ƒT㟠”Fig.–‚2.‘ó5Dark“solitons“under“constan²!t“gain.‘Ñ‘Pulse“shapMÞes“(solid)“when“=0.05“(a)“and“1(b),‘ˆãafterŽ¤ÿ[certain–lpropagation“distance,–w²z=1.6,“as–lcompared“to“input“pulse“shapMÞes“(dashed).‘Êh(c):‘À­The“pulseŽ¡duration,›BŸrelativ²!e–#ato“its“input,˜as“a“function“of“Óz‘žªÒat“v‘ÿdDarious“.‘TÎThe“solid“curv²!e“is“the“adiabaticŽ¡approš²!ximation–׊obtained“b˜y“pšMÞerturbation“metho˜d.‘qHThree“v‘ÿdDalues“of““are“used:‘@%“=“0.05“(dotted);Ž¡0.2–¦f(dash-dotted);“and“1“(dashed).‘ÝÝNegativ²!e“z“depicts“the“case“of“loss.ŽŽ ƒðžŸ ”Fig.–YO3.‘·FThe“pulse“shapMÞes“of“ampli ed“dark“solitons.‘ö˜(a)“Ó‘žìÒ=–4Õ0Ó:Ò5,›† Ó ‘ÈÇÒ=“2Ól7)nÒ1Ó:Ò05,˜Ÿ¤zÁpŽ‘Ç]ÓL“Ò=“2,˜afterŽ¤ÿ[8–¥amplifying“cycles“(solid);‘9Å(b)“Ó‘|Ò=–®e0Ó:Ò5,›!5Ó ‘BWÒ=“2Ól7)nÒ1Ó:Ò02,˜Ÿ¤zÁpŽ‘Ç]ÓL“Ò=“2,˜after–¥16“amplifying“cycles“(solid);Ž¡(c)‘ÞñÓ‘ÒúÒ=–hã0Ó:Ò5,›íÓ ‘üÕÒ=“2Ól7)nÒ1Ó:Ò02,˜Ÿ¤zÁpŽ‘Ç]ÓL“Ò=“0Ó:Ò5,˜after–Þñ16“amplifying“cycles“(solid);‘û6(d)“The“input“pulse“is“theŽ¡same–Ias“in“Fig.›¾Æ1(c),–[ÇÓ ‘ž™Ò=‘ §2Ól7)nÒ1Ó:Ò05,“after–I8“ampli cation“p•MÞerio“ds–I(solid).˜The“input“pulse“shapMÞes“areŽ¡plotted–¦fas“dashed“curv²!es.ŽŽŸkUˆŸ¸ïFig.–<4.‘g2(a)“The“shapMÞe“of“a“fundamen²!tal“dark“soliton“after“a“propagation“distance“of“40“(solid).Ž¤ÿ[The–­normalized“time“delaš²!y“ÓŸÈ®ÁdŽ‘Ò=‘½r0Ó:Ò01.‘²The“dashed“curv˜e“is“the“input“pulse“shapMÞe.‘²(b)“The“traceŽ¡of–¦ôthe“soliton“(solid)“as“a“function“of“propagation“distance“for“the“situation“describMÞed“b²!y“(a).‘߈TheŽ¡dotted–¦fcurvš²!e“represen˜ts“the“case“for“a“fundamen˜tal“brigh˜t“soliton“under“similar“conditions.ŽŽŸ;VÒŸè¥Fig.–;K5.‘–aThe“shapMÞe“of“a“higher-order“dark“soliton“[2“tanh(ÓtÒ)]“after“a“propagation“distance“of“12ŽŸÿ[for–¦fÓŸÈ®ÁdŽ›êOÒ=‘ §0Ó:Ò01“(solid).‘ÝÝThe“dotted“curv²!e“is“the“pulse“if“ÓŸÈ®ÁdŽ˜Ò=‘ §0,“i.e.,“without“ISRS.ŽŽŽŸ’ä Û14ŽŽŒ‹w× ¯î™ ý7g ªî™ ý¾EÞŸ¸ïÒFig.–íJ6.‘@å(a)“The“shapMÞe“of“an“adiabatically“ampli ed“fundamen²!tal“dark“soliton“(solid).‘²ˆ–€Í=“0Ó:Ò05,Ž¤ÿ[Óz‘Q|Ò=–Ö316,‘?and› ˆÓŸÈ®ÁdŽ‘µÛÒ=“0Ó:Ò01.‘LBThe˜dotted˜curv²!e˜corresp•MÞonds˜to˜the˜pulse˜shap“e˜without˜ISRS;˜(b)˜TheŽ¡trace–mof“the“soliton“(solid)“for“the“case“of“(a).‘ÊÄThe“dotted“curvš²!e“is“a“ t“as“describMÞed“b˜y“Eq.‘ÊÄ(11)“inŽ¡the‘¦ftext.ŽŽŸi4wŸ¸ïFig.–Œ7.‘ó5Evš²!en“dark“pulses“when“the“input“pulse“(dashed“curv˜e)“is“ÓŸ¤zÀ0Ž‘ÀÔj‘Ó1ÒtanhŽ‘¹š(ÓtÒ)ÔjÒ.‘Õ(a)“ÓŸ¤zÀ0Ž‘Ê«Ò=‘ §1Ó:Ò56,‘‘YandŽ¤ÿ[Óz‘ âÒ=›™8–Å(solid“curv²!e),‘Ê(b)“ÓŸ¤zÀ0Ž‘ OÒ=˜4“and“Óz‘ âÒ=˜3Ó:Ò75“(solid“curvš²!e).‘™ùIn“(c),‘Êthree“di eren˜t“input“pulsesŽ¡are–ò×assumed:‘vÀ8Ôj‘Ó1ÒtanhŽ‘¹š(ÓtÒ)Ôj“Ò(solid“curvš²!e),‘ô8[1–nìÔ“ÒexpŽ‘)™(ÔÓtŸü¾À2Ž‘ÀÓ=Ÿü¾‘=OÀ2ŽŸ®AÁgŽŽ‘ýSÒ)Ž‘M“•]Ÿü¾À1Á=À2Ž‘2ãÒ(dotted“curv˜e),‘ôand“8[1–¡âÔ“Òsec˜hŽ‘vÊ(Ót=Ÿ¤zÁsŽ‘n<Ò)]Ž¡(dashed–¦fcurv²!e).‘ÝÝThe“propagation“distance“is“Óz‘…ðÒ=‘ §8.ŽŽŸ=SùŸè¥Fig.–Ö8.‘'~Evš²!en“dark“pulses“generated“from“MZI.“The“pulse“after“MZI‘Öis“2“cos(Ód“=Ò2sec˜hŽ‘ÔèŸûÀ2Ž‘”ìÓtÒ)“(dashedŽŸÿ[curvš²!e)–¦fand“the“shapMÞe“of“secondary“dark“solitons“is“sho˜wn“b˜y“the“solid“curv˜e“for“Óz‘…ðÒ=‘ §4.ŽŽŸmR¯Ÿ¸ïFig.–ËÌ9.‘4¾The“loss“compMÞensated“evš²!en“dark“pulses.‘NThe“input“pulse“is“2“cos(Ód“=Ò2sec˜hŽ‘ÔèŸûÀ2Ž‘”ìÓtÒ)“(dottedŽ¤ÿ[curv²!e),‘Ò,the––8secondary“solitons“with“ bšMÞer“losses“comp˜ensated“bš²!y“stim˜ulated“Raman“scattering“isŽ¡sho•²!wn›Xqb“y˜the˜solid˜curv“e.‘óþF‘ÿeor˜comparison,‘„ôthe˜pulse˜shap•MÞe˜without˜ b“er˜losses˜is˜sho•²!wn˜b“y˜theŽ¡dashed–¦fcurv²!e“(same“as“Fig.–ÝÝ8).“The–¦fpropagation“distance“is“4.ŽŽŽŸ’ä Û15ŽŽŒ‹‚ ¯î™ ý7g ªî™ ýxg’ÒÀÛT‘ÿVABLESŽŸ#ÿ[ÒT‘ÿeable‘1.‘Amplitudes–¦fof“Secondary“Ev²!en“Dark“PulsesŽŽŽŸ‡w‰ffÔ¤ÌT’™GUInput–¦fPulse“ShapMÞeŽŽŸ™l‘FJH„ff&e·ŽŽŸezÁnŽ‘¨PÒV‘ÿealuesŽ‘HJHÓŸ¤zÀ0Ž‘ÀÔjÒtanhŽ‘æiÓtÔjŽ’µcÓŸ¤zÀ0Ž›ÀÒ[1–nìÔ“ÒexpŽ‘)™(ÔÓtŸü¾À2Ž˜Ó=Ÿ¤zÁgŽŽ‘ žlŸü¾À2Ž‘^pÒ)]Ÿü¾À1Á=À2ŽŽ’± ÓŸ¤zÀ0Ž‘ÀÒ[1–nìÔ“Òsec²!hŽ‘CÔ(Ót=Ÿ¤zÁsŽ‘n<Ò)]Ž’…üAvg.Ž’¶ RangeŽŽŸ ™l‰ffÔ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ1ŽŽ‘TÒ0.34Ž’»Á‡0.30Ž’7tÓ0.21Ž’†¡R0.28Ž’·hƒÔÒ25%ŽŽ¤ÿZ‘ÿ#Ÿ¤zÀ2ŽŽ‘TÒ1.56Ž’»Á‡1.41Ž’7tÓ1.26Ž’†¡R1.41Ž’·hƒÔÒ11%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ3ŽŽ‘TÒ2.47Ž’»Á‡2.26Ž’7tÓ2.28Ž’†¡R2.34Ž’¼âÔÒ6%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ4ŽŽ‘TÒ3.52Ž’»Á‡3.25Ž’7tÓ3.31Ž’†¡R3.36Ž’¼âÔÒ6%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ5ŽŽ‘TÒ4.45Ž’»Á‡4.26Ž’7tÓ4.42Ž’†¡R4.38Ž’¼âÔÒ6%ŽŽ¡‘ÿ#Ÿ¤zÀ6ŽŽ‘TÒ5.52Ž’»Á‡5.35Ž’7tÓ5.50Ž’†¡R5.50Ž’¼âÔÒ5%ŽŽŸ ™l‰ffÔŽŸ’ä Û16ŽŽŒø‰$ƒ’À;è¯î™Ô ó<ÂÖN ff cmbx12ó9X«Q ff cmr12ó5ÂÖN  cmbx12ó3›»ˆ@ cmti12ó2!",š cmsy10ó1·ág£ cmmi12ó0X«Q cmr12ó,ò"V ó3 cmbx10ó*ý': ó3 cmti10ó)!",š ó3 cmsy10ó(  b> ó3 cmmi10ó'Kñ`y ó3 cmr10ó¾KÈ cmsy8ó×2cmmi8ó|{Ycmr8óq¡% cmsy6ó;Îcmmi6óú±u cmex10ùŒ÷ßßßßßßß